Supongamos que tenemos un triángulo $ABC$. En que punto interior $T$ es el producto de las distancias a $|AT|\cdot |BT|\cdot |CT|$ máxima? Es un punto conocido, como el centroide o incentro?
Respuesta
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Un punto de $T$ no existe!
Identificar el plano Euclidiano $\mathbb{R}^2$ con complejo de avión $\mathbb{C}$. Deje $t, a, b, c \in \mathbb{C}$ corresponden a $T, A, B, C$ respectivamente. Tenemos
$$|AT||BT||CT| = |t-a||t-b||t-c| = |(t-a)(t-b)(t-c)|$$
Como una función de la $t$, el lado derecho es el módulo de un no-constante de la función en $\mathbb{C}$. Por máximo módulo principio, no presentan un verdadero máximo local en cualquier lugar de $\mathbb{C}$.
En el lenguaje de la geometría en $\mathbb{R}^2$, no hay ningún punto de $T$ que localmente maximizar la expresión $|AT||BT||CT|$.
Lo más cercano que uno puede tener son dos puntos de silla (contando multiplicidad) corresponde a las dos raíces del polinomio cuadrático:
$$\frac{d}{dt}\left((t-a)(t-b)(t-c)\right) = 3t^2 - 2(a+b+c)t + (ab+bc+ca) = 0$$
Marden del teorema nos dicen estas dos raíces son los focos de la Steiner inellipse que es el único elipse tangente a los puntos medios del triángulo $ABC$.
