¿Por qué una partícula cuántica en un potencial 1D atractivo no se acumula en el centro?

Question

Tengo dos preguntas relacionadas con (resultados posiblemente contraintuitivos) la ecuación de Schrodinger y su aplicación a dos escenarios (estrictamente hipotéticos).

1. Consideremos el potencial 1D $V(x) = - \frac{\alpha}{|x|}$ que es atractivo. Como es atractiva, después de una cantidad de tiempo suficientemente grande yo esperaría que la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en $x=0$ (centro) sea superior a la de cualquier otro lugar. Espero que sea razonable esperar tal cosa.

   Pero la solución según la ecuación de Schrodinger es (como se da en este responder ) es $$u_n(x,t) \sim \lvert x\rvert e^{-\lvert x\rvert/na} ~L_{n -1}^1\biggl(\frac{2\lvert x\rvert }{na}\biggr) e^{-E_nt/\hbar}$$ Consideremos la amplitud en $x=0$ $$\lvert u_n(0,t)\rvert = 0$$ lo que me parece contradictorio con nuestras expectativas razonables basadas en la intuición. Agradecería algún comentario sobre por qué es contraintuitivo.

2. Consideremos el problema de la partícula en la caja y, de acuerdo con la ecuación de Schrodinger, en casi todos los estados de energía la probabilidad de encontrar la partícula cerca de los límites es cero. Ahora en vez de intuición (que no predice nada) pondría un ejemplo práctico donde es bastante contradictorio. (Perdonadme si este ejemplo no es adecuado, estoy aprendiendo y me encantaría saber por qué intuitivamente no lo es). Consideremos un conductor metálico, supongo que es un ejemplo de partícula en una caja ya que el potencial en el interior es cero y sabemos que la carga se suele acumular en los bordes del conductor.

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Algo interesante que añadir. La densidad de probabilidad que desaparece en el centro no parece darse en el átomo de hidrógeno tridimensional. Comprueba la función de onda del orbital 1s del átomo de hidrógeno, es de la forma $\psi_{1s}(r) = a e^{-kr}$ donde $k$ y $a$ son algunas constantes y $r$ es la distancia radial desde el núcleo.

Answer 1

Pregunta 1:

Su intuición de que en la densidad de probabilidad de encontrar la partícula debe ser la más alta en $x=0$ (cuando está en estado fundamental, para ser precisos) debe ser correcta, pero la solución que has citado es defectuosa.

He leído el referencia de la respuesta que enlazaste. Allí, lo que realmente han hecho los autores es resolver la ecuación de Schrodinger para $V(x)=- \frac{1}{x}$ y $V(x)=+\frac{1}{x}$ por separado (sin restricción en el rango de $x$ para ambos casos) para obtener las soluciones de estado límite $\psi_{+}(x)$ y $\psi_{-}(x)$ . A continuación, afirman que la solución completa es tal que $\psi(x)=\psi_{+}(x)$ para $x>0$ y $\psi(x)=\psi_{-}(x)$ para $x<0$ .

Sin embargo, lo que han resuelto es un problema totalmente distinto del que pretendían en un principio. Y lo que es más importante, los potenciales $V(x)=\mp\frac{1}{x}$ tienen barreras infinitas en $x=0^{\mp}$ . Por lo tanto, podemos esperar que una partícula ligada al potencial $V(x)=- \frac{1}{x}$ ( $+\frac{1}{x}$ ) en el $x>0$ ( $x<0$ ) nunca puede penetrar en el otro lado. Puedes comprobar este hecho matemáticamente transformando de Fourier la función de onda momento-espacio de la Ec. 13 de la referencia. Verás que $\psi_{+}(x)$ desaparece por completo para $x\le 0$ y $\psi_{-}(x)$ para $x\ge 0$ . Esto no es ciertamente lo que ocurriría para $V(x)=-\frac{1}{|x|}$ .

En el mismo documento también se mencionan los resultados de otras personas. En particular, algunos de ellos parecen haber obtenido eigenfunciones asociadas a un espectro continuo de energía negativa, aunque los autores del artículo las consideran no físicas. En mi opinión, este continuo de energía negativa enfermo probablemente existe, y lo que nos dice es no que debemos descartar las soluciones correspondientes y quedarnos con otras que se comporten mejor, sino que la ecuación de Schrodinger para $V(x)=-\frac{1}{|x|}$ es un problema fundamentalmente enfermo en el sentido de que el electrón puede realmente caer indefinidamente hasta el pozo de potencial infinitamente profundo.

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Pregunta 2:

La interacción de culombio entre los electrones de un metal se tamiza y se vuelve de corto alcance. Esta es al menos una parte de la razón por la que los electrones que no interactúan en un pozo de potencial infinito pueden ser un modelo razonable de un metal para ciertos propósitos.

Por otra parte, las cargas que se acumulan en el límite de un metal son cargas "en exceso". La repulsión de Coulomb entre ellas no está apantallada. El modelo de no interacción no contiene en absoluto este tipo de física, pero puede utilizarse para describir el interior del metal en el que la interacción de Coulomb está apantallada.

Answer 2

Intuitivamente (es decir, clásicamente), para una partícula en un potencial 1D atractivo cabría esperar que la densidad de probabilidad fuera máxima en las posiciones en las que la partícula se detiene, es decir, en las posiciones en las que rebota. Lo contrario también es cierto: donde el potencial es más profundo, la partícula pasará menos tiempo e intuitivamente se esperaría que la densidad de probabilidad se minimizara.

Para partículas con momento angular precisamente nulo en un potencial 2D (o de dimensión superior) rotacionalmente simétrico (el caso alternativo considerado por OP) el comportamiento es diferente. Esto se debe al hecho de que la restricción de momento angular cero hace que el origen (el punto donde el potencial es más profundo) actúe como un "punto focal": la partícula se mueve más rápido en este punto, pero está garantizado que pase por este punto, mientras que la mayoría de las posiciones alejadas del origen no serán alcanzadas por la partícula.

Considerando tanto el caso clásico estrictamente 1D como cualquier caso clásico dimensional superior en el que el momento angular pueda definirse imposiblemente con precisión infinita, yo defendería la posición contraria a la expuesta en la pregunta: observar una densidad de probabilidad máxima para encontrar una partícula en el punto más profundo del potencial sería contraintuitivo.

Pasemos ahora al caso cuántico: no es correcto suponer que la distribución de probabilidad del estado fundamental para una partícula puntual en un potencial alcanzará siempre un valor distinto de cero en el lugar del estado fundamental clásico. Un contraejemplo directo lo proporciona cualquier potencial 1D V(x) que es ilimitado para x negativo, y monotónicamente creciente para x positivo.

Answer 3

Una vez más me gustaría subrayar que cuando pasamos al régimen cuántico, el concepto "partícula" no se traslada del régimen clásico.

En el régimen clásico, una partícula se define por su centro de masa y la posición y velocidad del centro de masa, pero esos no son sus únicos atributos. También se define por el volumen que ocupa y la densidad de masa por unidad de volumen.

En el régimen cuántico ocurren dos cosas, una "partícula elemental" puede ser como una partícula, definida por la primera frase del párrafo anterior, con y (x,y,z,t) y un (p_x,p_y,p_z,E) cuatro vector ( en unidades donde c=1), idéntica a la definición de una partícula de régimen clásico. PERO no tiene volumen ni densidad de masa, es una partícula puntual. La segunda diferencia es que una partícula elemental puede mostrar un comportamiento ondulatorio, caracterizado por observarse experimentalmente patrones de interferencia . Este no es el comportamiento de las partículas macroscópicas.

Las ecuaciones de la mecánica cuántica desarrolladas para ajustarse a este comportamiento observado, la naturaleza de partícula y la de onda, y las soluciones de las ecuaciones nos dan las probabilidades de encontrar una "partícula" en un punto específico del espacio-tiempo, cuya probabilidad tiene propiedades de onda. Se trata de soluciones estáticas para potenciales independientes del tiempo. No evolucionan con el tiempo, afortunadamente, de lo contrario no estaríamos aquí, ya que los átomos dependen de esta estabilidad. ( más bien las soluciones de las ecuaciones describen la estabilidad de los átomos).

Así que sí, existe una probabilidad de que un electrón de un estado S se encuentre en medio del núcleo, y así es como captura de electrones sucede y los núcleos se transforman a Z más bajo. Es una probabilidad minúscula, considerando que el tamaño del núcleo al tamaño del átomo es órdenes de magnitud más pequeño, pero sucede, y está bien descrito por las soluciones apropiadas del sistema QM.

Ahora los conductores son complicados . Los electrones de conducción son compartidos por todos los núcleos porque hay capas de energía comunes. No puede modelarse mediante un potencial de pozo cuadrado.

Answer 4

Sólo para demostrar que la primera situación no es tan infrecuente: la fuerza gravitatoria es atractiva y, sin embargo, la probabilidad de encontrar un planeta dentro del sol es ínfima. (por supuesto, ¿quién sería tan valiente como para ir a comprobarlo, verdad?)

La explicación semiintuitiva es la siguiente: la partícula tiene una cierta cantidad de energía y el campo de fuerza es conservador. Por tanto, no se pierde energía. Sin embargo, si la partícula estuviera en el centro del sistema, en reposo, tendría la menor energía posible. Sin energía potencial (si fijamos el cero para la energía potencial en el centro, que es lo habitual) y sin energía cinética, ya que la partícula no se mueve. Así que básicamente es la conservación de la energía lo que impide que una partícula en un potencial atractivo se asiente en el centro.

Para tu segundo caso: el potencial dentro de un metal no es completamente cero. Los electrones de conducción siguen estando influidos en cierta medida por los iones (y entre sí). De lo contrario, todos los metales serían superconductores a cualquier temperatura. Y en ausencia de un potencial exterior, no creo que los electrones se acumulen en los bordes del metal. Se mueven a través de la red de iones como un gas casi libre, su movimiento modulado (ligeramente) por los (movimientos de los) iones.

Answer 5

En una dimensión, el movimiento en un potencial de atracción tipo Coulomb $U=-\frac{\alpha}{|x|}$ está bastante mal definido. Ahora intentaré explicar esto para las partículas clásicas, luego diré algunas palabras sobre el modo cuántico.

Consideremos dos casos:

• Movimiento 3D de una partícula casi en caída libre hacia el centro de atracción, pero con momento angular distinto de cero $L$ .

En este caso sabemos por las leyes de Kepler que la solución es una trayectoria elíptica. Su área será $0$ como $L\to0$ dejando finita la longitud del eje mayor. Así, en el límite de $L\to0$ tenemos una partícula en caída libre cuya trayectoria es una línea recta, y, sorprendentemente, la partícula se repelerá efectivamente del centro de atracción después de alcanzarlo. Pero este movimiento no es más que un movimiento 1D en el potencial de Coulomb, y la partícula nunca pasa del centro de atracción, teniendo una trayectoria asimétrica.

• Movimiento 1D en un potencial más general $U=\frac{-\alpha}{\sqrt{x^2+\varepsilon^2}},$ que se convertirá en el potencial de Coulomb habitual cuando $\varepsilon=0$ .

Sea $\varepsilon\ne0$ y velocidad inicial de la partícula $v_0=0$ . En $x\approx0$ el potencial se comporta como un oscilador armónico, por lo que la partícula lo atravesará. Finalmente la partícula se frenará en el punto opuesto al de partida, y continuará moviéndose en sentido contrario. Ahora haz $\varepsilon$ más pequeño. La partícula seguirá moviéndose en una trayectoria, simétrica respecto al origen. Al tomar el límite $\varepsilon\to0$ conseguirás que tu partícula se mueva en una trayectoria simétrica.

Se puede ver que ambos casos muestran un movimiento unidimensional en un potencial similar al de Coulomb, pero llegan a resultados contradictorios. Así pues, hay que llegar a la conclusión de que la solución del problema depende de qué lado se tome el límite: o bien partícula en caída casi libre con $L\to0$ o potencial casi coulómbico con $\varepsilon\to0$ .

Cuando tomas la ecuación cuántica, es decir, la ecuación de Schrödinger, de hecho llegarás a resultados similares con ambos enfoques porque ya no tienes trayectorias definidas, y tu enfoque en el primer caso es poner todo el sistema 3D en un alambre cuántico con centro de atracción coulómbico en el medio y encoger sus paredes.

El resultado en ambos casos en el modo cuántico será que la energía de su estado básico es ilimitada desde abajo a medida que se acerca al régimen coulómbico 1D, y la función de onda convergerá a algo parecido a una función delta de Dirac, aunque el límite podría no serlo estrictamente. Por supuesto, este resultado es bastante antifísico: se necesita una energía infinita para excitar la partícula.

En cuanto a la solución dada en la respuesta que enlazas, yo diría que es al menos incompleta: no incluye condiciones de contorno en la unión de $u^+$ y $u^-$ e incluso si te da la solución, no incluye el estado base.