Si $\phi:\mathbb{Q}(a_1\ldots,a_n)\rightarrow\mathbb{Q}(b_1,\ldots,b_n)$ es un isomorfismo de finito extensiones de $\mathbb{Q}$ tal que $\phi(a_i)=b_i$, se puede extender $\phi$ a un automorphism $\sigma$ de los compuestos de $\mathbb{Q}(a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)$? Es tras una evidente contra-ejemplo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No he encontrado una respuesta definitiva, pero aquí están algunos de los resultados parciales. Yo no puedo garantizar que no he overthought y que hay una solución mucho más sencilla. :)
Tenga en cuenta que por Abel teorema sobre la primitiva elemento hay un $\alpha$ tal que ${\bf Q}(a_1,\ldots,a_n)={\bf Q}[\alpha]$. En este caso, también es cierto que ${\bf Q}[\phi(\alpha)]={\bf Q}(b_1,\ldots,b_n)$ (debido a $\phi$ es un isomorfismo) y $\alpha$ $\phi(\alpha)$ son conjugadas.
Considere la posibilidad de $K$, la división de campo de la $\alpha$'s mínimo polinomio $f_\alpha$. Lo que pedimos es equivalente a preguntar si hay un automorphism $\Phi$ $K$ tal que $\Phi(\alpha)=\phi(\alpha)$, y de tal manera que $\Phi(\Phi(\alpha))\in{\bf Q}[\alpha,\phi(\alpha)]$.
Este es el caso, por ejemplo, si $\alpha$ $\phi(\alpha)$ ya genere $K$ (por ejemplo, si $\alpha$ es una raíz de la unidad, o $\alpha=\sqrt[4]{2},\phi(\alpha)=i\sqrt[4]{2}$ o si $K$ es de primer grado), o si $\phi$ es la restricción de una involutiva automorphism (por ejemplo, si $\alpha$ $\phi(\alpha)$ son complejas conjugadas), también es cierto que si el grado de $K$ es el producto de más de dos (tal vez no distinta) de los números primos (así, en particular, si $f_\alpha$ es en la mayoría de los cúbico), y también si el grupo de Galois de $K$ es bitransitive (en particular, si a es simétrica grupo, que creo que es el "genérico" de la situación), pero creo que no tiene que ser el caso.
Idealmente, un contraejemplo habrían $K$ grado $24$ (algo menos que no funciona, como se ha señalado por Hurkyl), con $f_\alpha$ grado $4$. Pero entonces el grupo de Galois es la permutación de grupo, así que no hay ningún contraejemplo a $f_\alpha$ de grado cuatro. Esto parece hacer la hipótesis viable... pero la hipótesis de que no sólo para polinomios de grado cinco o más no son desconocidos. ;)
