Hay un corto periodo de prueba de $x^2=(-x)^2$ en un anillo arbitrario?

Question

Identidad: Vamos a $R$ ser un anillo y $x \in R$. A continuación, $x^2=(-x)^2.$

Que es el examen marcar el tiempo aquí, y uno de los estudiantes se utiliza por encima de la identidad en una prueba. La identidad es cierto, pero no puedo pensar de una clara prueba de ello.

Pregunta: hay un corto periodo de prueba de esta identidad? (Nota: $R$ podría no tener una identidad multiplicativa.)

He aquí una prueba generada por Prover9, que me hace pensar que puede ser que no haya más corto de la prueba. Sin embargo, esto puede no ser necesariamente cierto, ya que la Prover9 sólo puede trabajar con el anillo de la teoría de los axiomas I input (y habría que probar auxiliar lemmata nos daría por descontado).

============================== PROOF =================================

% Proof 1 at 0.01 (+ 0.00) seconds.
% Length of proof is 26.
% Level of proof is 10.
% Maximum clause weight is 16.
% Given clauses 30.

1 x * x = -x * -x # label(non_clause) # label(goal).  [goal].
2 x + (y + z) = (x + y) + z.  [assumption].
3 (x + y) + z = x + (y + z).  [copy(2),flip(a)].
4 x + 0 = x.  [assumption].
5 0 + x = x.  [assumption].
6 x + -x = 0.  [assumption].
8 x + y = y + x.  [assumption].
10 x * (y + z) = (x * y) + (x * z).  [assumption].
11 (x + y) * z = (x * z) + (y * z).  [assumption].
12 -c1 * -c1 != c1 * c1.  [deny(1)].
13 x + (-x + y) = y.  [para(6(a,1),3(a,1,1)),rewrite([5(2)]),flip(a)].
18 (x * 0) + (x * y) = x * y.  [para(5(a,1),10(a,1,2)),flip(a)].
19 (x * y) + (x * -y) = x * 0.  [para(6(a,1),10(a,1,2)),flip(a)].
24 --x = x.  [para(6(a,1),13(a,1,2)),rewrite([4(2)]),flip(a)].
25 x + (y + -x) = y.  [para(8(a,1),13(a,1,2))].
27 (x * y) + ((-x * y) + (z * y)) = z * y.  [para(13(a,1),11(a,1,1)),rewrite([11(5)]),flip(a)].
33 -x + (y + x) = y.  [para(24(a,1),25(a,1,2,2))].
40 x + -(x + y) = -y.  [para(33(a,1),33(a,1,2)),rewrite([8(3)])].
57 -(x + y) = -y + -x.  [para(33(a,1),40(a,1,2,1)),flip(a)].
69 x * 0 = 0.  [para(18(a,1),33(a,1,2)),rewrite([8(4),6(4)]),flip(a)].
70 (x * y) + (x * -y) = 0.  [back_rewrite(19),rewrite([69(6)])].
78 -(x * -y) = x * y.  [para(70(a,1),33(a,1,2)),rewrite([8(5),5(5)])].
87 x * -y = -(x * y).  [para(78(a,1),24(a,1,1)),flip(a)].
88 -(-c1 * c1) != c1 * c1.  [back_rewrite(12),rewrite([87(5)])].
101 -(-x * y) = x * y.  [para(27(a,1),33(a,1,2)),rewrite([57(5),8(8),13(8)])].
102 $F.  [resolve(101,a,88,a)].

============================== end of proof ==========================

Answer 1

Deje $\rm\:y=x\:$ en la Ley de los Signos: $\rm\:xy = xy+(x+-x)(-y) = x(y+-y) + (-x)(-y) = (-x)(-y)$

Comentario $\ $ La prueba tiene las siguientes conceptual de interpretación: $\rm\:xy = (-x)(-y)\:$ ya que ambos son inversos aditivos de $\rm\:x(-y)\:$ por lo tanto son iguales por la singularidad de los inversos. Como me frecuentemente enfatizan, teoremas de singularidad proporcionan herramientas poderosas para probar las igualdades.

Answer 2

\begin{align} 0=(x-x)^2 &= x^2+x(-x)+(-x)x+(-x)^2 \\ &= x^2+x(-x)+(-x)x+x^2-x^2+(-x)^2 \\ &= x(x-x)+(-x+x)x-x^2+(-x)^2 \\ &= -x^2+(-x)^2 \end{align}

Answer 3

¿qué acerca de la $x^2-(-x)^2 = (x-(-x))*(x+(-x)) = (x-(-x))*0 = 0$ ?

Answer 4

Tenemos:

$$ (-x) * x + x * x = 0 * x = 0 $$

Por lo tanto:

$$ -(x * x) = (-x) * x $$

De forma similar:

$$ -(x * x) = x * (-x) $$

La aplicación de estos resultados a $(-x) * (-x)$ A conseguir lo que quieres:

$$ (-x) * (-x) = -(x * (-x)) = -(-(x * x)) = x * x $$

Answer 5

Otro enfoque: La prueba es fácil si el anillo tiene identidad, y si no, el anillo que siempre puede ser incrustado en un anillo con identidad. Si la afirmación es verdadera en el anillo más grande, es cierto que en el original sub-anillo.