La diferencia entre la función de Wannier y atómica de la órbita en un apretado modelo de unión

Question

En un apretado modelo de unión, se suele empezar a partir de las órbitas atómicas y linealmente combinarlos para obtener la función de onda de la energía cristalina de la banda.

Mis preguntas son:

1. Ya que este tipo de unión estrecha es un método aproximado, debido a la utilización de órbitas atómicas, es exacta para utilizar la función de Wannier formalismo? Si es así, ¿cómo puedo obtener el Wannier función de forma sistemática?

2. ¿Cuál es el uso de la máxima localizada funciones de Wannier?

3. ¿Por qué no podemos obtener el máximo localizada Wannier función cuando la fase de Berry no es cero?

4. También, en estrecha unión, el formalismo, teniendo atómica órbitas o Wannier funciones como la función de base, respectivamente, lo que hace de la posición del operador (en diagonal o no), la velocidad del operador y operador de momento angular?

Answer 1

Wannier funciones son un conjunto de base que se crea a partir de un cálculo, generalmente de teoría Funcional de la Densidad. Por definición, que abarcan el mismo subespacio del espacio de Hilbert como el Kohn-Sham orbitales que se generan a partir de.

Dependiendo del método que se utilice, de la siguiente cálculo utilizando Wannier orbitales pueden ser más o menos exacto que el cálculo de la DFT. Por ejemplo, usted puede hacer CAO uso de Wannier orbitales, que es un método más exacto. Si usted tight-binding utilizando Wannier orbitales, el método es menos exacto que la DFT, pero se puede describir millones de átomos en lugar de cientos de personas. Pero para responder a tu pregunta: los métodos de la química cuántica y la física del estado sólido nunca son exactos y siempre aproximaciones.

Una cuestión de terminología: "atómico orbital" significa que el orbital está localizada alrededor de un átomo. Un Wannier orbital es un orbital atómico, porque es (o debería ser) localizada alrededor de un átomo. A veces también se localiza entre dos átomos, por ejemplo, un orbital híbrido sp2 que como más densidad entre los átomos que de ella - pero te sugiero que no hilaba acerca de eso.

Un gran programa para obtener Wannier orbitales es wannier90.

Para ser más específicos, Wannier los orbitales que se obtiene por

1. Resolver el sistema usando un ab-initio método (como DFT)
2. La elección de una transformación unitaria (la matriz $U$) de la DFT de Kohn-Sham los orbitales localizados los orbitales de acuerdo a la fórmula (1.1) en el citado artículo:

$$w_{n\mathbf R}(\mathbf r)=\frac{V}{(2\pi)^3}\int_{BZ}\left[\sum_m U_{mn}^{(\mathbf k)}\psi_{m\mathbf k}(r)\right]e^{-i\mathbf kR}d\mathbf k$$

Para MLWFs (el Máximo se localiza funciones de Wannier), $U$ se elige de modo que la suma de los diferenciales (=la varianza, como se define en las estadísticas) de todos los orbitales es mínima.

Wannier orbitales son frescas/útil porque

1. Usted obtener una verdadera representación del espacio, véase la fórmula (1.1)
2. Usted obtener apretado de unión de elementos de la matriz por la transformación de la (diagonal) operador de Hamilton en la Kohn-Sham, en base a la Wannier orbital sobre la base de la matriz $U$
3. La estrecha unión de elementos de la matriz de reproducir exactamente la DFT bandstructure (nota: que no haga que el método exacto).
4. La manera de obtener esos elementos es sistemática, rápida y cómoda.

Antes de hablar acerca de los operadores, una breve reseña: ¿Qué es el "normal" con el fin de obtener la TUBERCULOSIS parámetros?

1. Crear una matriz con los parámetros
2. Resolver el Bloch autovalor problema (en resumen: encontrar los autovalores)
3. A ver si los autovalores coinciden con la DFT bandstructure
4. Cambiar los parámetros y repetir de 1. hasta las 3. es cierto

De esta manera, usted sólo obtener información acerca de la estructura de la energía del sistema. No usar ningún tipo de información acerca de la verdadera representación del espacio, por lo que la TB parametrización no la incluyen.

Por otro lado, Wannier orbitales son creados usando una transformación unitaria. Por la aplicación de esta transformación con el espacio real de la representación de la Kohn-Sham orbitales de la DFT, se puede obtener el espacio real de la representación de la Wannier orbitales.

Acerca de los operadores:

1. Si "normal" de la TUBERCULOSIS, no se puede evaluar cualquiera de los operadores.
2. Con Wannier de los orbitales, se puede evaluar el $\vec r_{ij}=\left<\phi_i|\vec r|\phi_j\right>$ en el espacio real. Es una matriz en la Wannier orbital. Usted puede hacer lo mismo para el momento angular y el momento del operador. Ninguno de ellos es diagonal.

Yo no te puedo decir nada acerca de la fase de Berry.

Answer 2

Me puede decir algo acerca de la exponencial de la localización y el número de Chern (fase de Berry).

El primer documento que da cuenta de la relación de la localización de las funciones de Wannier y cero Chern número de la banda se debe a Thouless. Una más rigurosa prueba y una generalización para multibands se puede encontrar, por ejemplo, aquí.

De la simple observación es así. Si tenemos un conjunto de forma exponencial localizada Wannier funciones, la de Bloch estados (o cuasi-Bloch estados para multibands caso) construido a partir de Wannier los estados debe ser analítico y un único valor en el conjunto de la zona de Brillouin, debido a las propiedades de la serie de Fourier. Esto es imposible si el vector paquete formado por el Bloch de los estados no es trivial, es decir, con un valor distinto de cero Chern número.