¿Por qué es $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\cdots}}}}}}$ igual a 2? Hace este trabajo para otros números?
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El número en cuestión es simplemente
$$2^{1/2+1/4+1/8+\cdots} = 2^1 = 2$$
Sí, esto funciona para otros números. Más interesante es que si los números no son iguales en el interior de los radicales. Por ejemplo, supongamos que tenemos una secuencia positiva elemento $a_n$ dentro de la $n$th radical. Si suponemos que la expresión converge para algún valor $P$, luego
$$\log{P} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\log{a_n}}{2^n}$$
Did
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De una manera general a atribuir un valor a este no rigurosamente definido fórmula y a muchos otros similares, es considerar que describen el "infinito" de la iteración de una función dada. Por lo tanto, se considera una secuencia $(x_n)$ tal que $x_{n+1}=\sqrt{2x_n}$ por cada $n\geqslant0$$x_0\geqslant0$. Entonces, de hecho, el valor de la fórmula es $2$ en el siguiente sentido:
Para cada $x_0\gt0$, $x_n\to2$.
Para ver esto, observe que $x_{n+1}=u(x_n)$, en función de las $u:x\mapsto\sqrt{2x}$ es tal que $x\lt u(x)\lt2$ por cada $x$ en $(0,2)$, $u(2)=2$, y $2\lt u(x)\lt x$ si $x\gt2$. Por lo tanto $(x_n)$ es creciente si $0\lt x_0\lt2$ y la disminución de la si $x_0\gt2$ y converge a $2$ en ambos casos (y yo te permitirá resolver el caso de $x_0=2$).
Hace este trabajo para otros números?
En efecto, si se entiende por esto el hecho de que:
$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{\cdots}}}}}}=a$, para cada $a\geqslant0$.
Para ver esto, considere la posibilidad de $a\gt0$ $x_{n+1}=u_a(x_n)$ donde $u_a$ es la función de $u_a:x\mapsto\sqrt{ax}$. Tenga en cuenta que $x\lt u_a(x)\lt a$ por cada $x$ en $(0,a)$, $u_a(a)=a$, y $a\lt u_a(x)\lt x$ si $x\gt a$. Por lo tanto $(x_n)$ es creciente si $0\lt x_0\lt a$ y la disminución de la si $x_0\gt a$ y converge a $a$ en ambos casos (y yo te permitirá resolver el caso de $x_0=a$).
Bhargav Bhat
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Simon D
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En el caso de $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}$, este es un límite de la corto-acorde de un polígono $2^n \cdot x$ $n$ va grande. El corto de cuerda es la cuerda de un polígono regular que abarca dos bordes. Hay un triángulo formado por dos bordes y el corto de cuerda. Como el polígono se vuelve más lados de este triángulo, se aproxima a una línea recta, y el corto de cuerda enfoques dos bordes de longitud.
