La declaración de la segunda m.v.t. Yo uso para conocer las preocupaciones de funciones continuas, por lo que su prueba se basan en la primera m.v.t. para funciones continuas. Por lo tanto, yo tenía que trabajar a cabo una nueva prueba... Y, sorprendentemente, parece que tanto $G(a),G(b)$ $G(a^+),G(b^-)$ trabaja en la igualdad.
Por lo tanto, tal vez hay algo mal en mi prueba... Usted tiene que comprobar cuidadosamente. ^^
Prueba: Supongamos $G,\phi:[a,b]\to \mathbb{R}$ ser delimitada y Riemann integrable sobre $[a,b]$ $G(x)$ estar disminuyendo. Es obvio que no es suficiente para demostrar que existe $\xi ,\eta \in [a,b]$ s.t.:
$\int_a^b \phi G =G(a^+)\int_a^\xi \phi =G(a)\int_a^\eta \phi$
para no negativo $G(x)$, porque si $G(x)$ toma valores positivos y negativos, a continuación, $G(x)-G(b^-)$ $G(x)-G(b)$ son no negativos (el primero es negativo sólo en $b$, pero un punto es insignificante w.r.t. la integración).
Set:
$l_k:=\inf_{[x_k,x_{k+1}]} \phi,\ L_k :=\sup_{[x_k,x_{k+1}]} \phi$
$m_k:=\inf_{[x_k,x_{k+1}]} G,\ M_k :=\sup_{[x_k,x_{k+1}]} G$
y tenga en cuenta que el rango de $\phi(x) G(x)\Big|_{[x_k,x_{k+1}]}$$\subseteq [\min \{ l_k m_k,l_k M_k\}, \max \{ L_k m_k, L_k M_k\}]=:I_k$.
Deje $D=\{a=x_0<x_1<\ldots <x_n<x_{n+1}=b \}$ ser una partición de $[a,b]$ y escribir la suma de Riemann:
$\sigma_D (\lambda_0\mu_0,\ldots ,\lambda_n \mu_n) :=\sum_{k=0}^n \lambda_k \mu_k (x_{k+1}-x_k)$,
donde $\lambda_k\in [l_k,L_k],\ \mu_k \in [m_k, M_k]$ (de modo que $\lambda_k\mu_k \in I_k$): es bien sabido que $\sigma_D(\lambda_k\mu_k) \to \int_a^b \phi G$ cuando el diámetro de $D$ se reduce a $0$ independientemente de cómo elegimos $\lambda_k, \mu_k$.
Ahora establezca $\Phi (x):=\int_a^x \phi$ y elija $\lambda_k$ s.t. $\lambda_k (x_{k+1}-x_k)=\int_{x_k}^{x_{k+1}}\phi =\Phi(x_{k+1}) -\Phi (x_k)$ (lo cual es posible para el primer m.v.t.): por lo tanto, la suma de Riemann vuelve a escribir:
$\sigma_D(\lambda_k\mu_k)=\sum_{k=0}^n \mu_k [\Phi (x_{k+1})-\Phi (x_k)] = \sum_{k=0}^{n-1} (\mu_k -\mu_{k+1})\Phi (x_{k+1}) + \mu_{n} \Phi (x_{n+1})$.
$\Phi(x)$ es un almacén de la función en $[a,b]$ ( $\phi$ ), y las diferencias $\mu_-\mu_{k+1}$ son no negativos (debido a $G(x)$ disminuye uno ha $m_k\geq M_{k+1}$, e $\mu_k \in [m_k,M_k], \mu_{k+1}\in [m_{k+1},M_{k+1}]$), por lo tanto:
(*) $p\mu_0 \leq \sigma_D(\lambda_k \mu_k)\leq P\mu_0$,
donde$p:=\inf_{[a,b]} \Phi$$P:=\sup_{[a,b]} \Phi$.
Ahora es claro que en (*) se puede elegir la $\mu_0$ arbitrariamente: en particular, uno puede elegir a $\mu_0=G(a^+)$ o $\mu_0=G(a)$, y en cada caso, uno se pone un uniforme de obligado (w.r.t. $D$ )$\sigma_D(\lambda_k,\mu_k)$.
Por último, dejar que el diámetro de $D$ tienden a $0^+$, se tiene:
$p\mu_0\leq \int_a^b\phi G \leq P\mu_0$,
por lo tanto la aplicación de la primera m.v.t. a la función continua $\Phi(x)$ uno tiene la demanda, con dos diferentes punto de $\xi,\eta$ (en general), dependiendo de la elección de $\mu_0$.
