Una feria de morir es rodado $N > 6$ veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el pasado 6 rollos eran exactamente $1,2,3,4,5,6$?

Question

Usted rollos de una feria de die $N > 6$ veces y desea rollos de la secuencia de $1,2,3,4,5,6$ en este orden.

¿Cuál es la probabilidad de que el pasado 6 rollos fueron (en orden consecutivo) $1,2,3,4,5,6$, (Así, en la N-ésima tirada usted obtiene un 6, en el $(N-1)$th rollo de obtener un 5, etc.), Y usted no rodar esta secuencia cualquier momento antes de la última de 6 rollos.

Si he estado otra manera, ¿cuál es la probabilidad de que el rollo de la secuencia 1,2,3,4,5,6 a partir de la $(N-5)$th rollo y no el rollo de esta secuencia a partir de cualquier rollo antes de la $(N-5)$th rollo?

Este no es un problemas de la tarea, algo que estoy pensando.

Answer 1

Para $n\ge 6, 0\le r\le 6$, vamos a $p_r(n)$ la probabilidad de que $n$ rollos de final en $1,2,\ldots,r$ $1,2,3,4,5,6$ nunca se produce en la secuencia. A continuación, $p(n)=p_0(n)+\ldots+p_6(n)$ denota la probabilidad de que $1,2,3,4,5,6$ nunca se produce dentro de $n$ rollos. Claramente $p_r(6)=1$ $r<6$ $p_6(n)=0$ todos los $n\ge 6$. Por otra parte tenemos a las siguientes repeticiones: $$ p_r(n+1)= \begin{cases}0&\text{if }r=6\\\frac16p_{r-1}(n)&\text{if }2\le r\le 5\\ \frac16(p_0(n)+\ldots+p_6(n))&\text{if }r=1\\ \frac56(p_0(n)+p_6(n))+\frac23(p_1(n)+\ldots+p_5(n))&\text{if }r=0\end{casos}$$ Esto permite que algunos manual de cálculos para las pequeñas $n$. Para la solución general esto significa que tenemos que encontrar los valores y vectores propios de la matriz $$\frac16\begin{pmatrix}5&4&4&4&4&4\\ 1&1&1&1&1&1\\ 0&1&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1&0\\ \end{pmatrix} $$ para encontrar una fórmula explícita para la $p_r(n)$ y finalmente para $p(n)$ de la forma $$\tag1p(n)=c_1\lambda_1^n+\ldots+c_6\lambda_6^n.$$ La respuesta a tu pregunta es, finalmente, $$\tag2P= 6^{-6}\cdot p(N-6).$$

Si mi autovalor los cálculos están bien, tenemos $$\begin{align} \lambda_1&\approx\hphantom{-}0.999978564232\\ \lambda_2&\approx \hphantom{-}0.119473055129\\ \lambda_{3,4}&\approx \hphantom{-}0.033606052210\pm 0.112188066230\,i\\ \lambda_{5,6}&\approx-0.093331861891\pm 0.066102276039\,i\end{align}$$ y yo salimos de la determinación de la $c_\nu$ como un ejercicio. Para un gran$N$, $c_1\lambda_1^n$ plazo en $(1)$ se convierte en dominante, de modo que $(2)$ se convierte en $$ \tag{2'}P\approx \alpha\cdot \lambda_1^N $$ con $\alpha = 6^{-6}c_1\lambda_1^{-6}$.

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Observación: En la luz de Ross Millikan respuesta, tenga en cuenta que $1-6^{-6}\approx 0.9999785665$. A primera vista, la diferencia de a $\lambda_1$ podría ser un artefacto de mi cálculo numérico (PARI/GP con el estándar de precisión). Pero rehacer mi cálculo con mayor precisión sugiere que la diferencia ($\approx 2.297\cdot 10^{-9}$) es real.

Answer 2

Durante siete rollos de los últimos seis $1,2,3,4,5,6$ reglas de salir habiendo $1,2,3,4,5,6$ antes de que, por tanto, la posibilidad de obtener el primer $1,2,3,4,5,6$ a partir rollo $2$$1/6^6$. Para cualquier número de rollos por debajo de $12$ las probabilidades de acabar con el primer $1,2,3,4,5,6$$1/6^6$. Es sólo con $12$ o más rollos que usted puede conseguir $1,2,3,4,5,6$ antes de la final, así que para $N\ge 12$ la probabilidad es $P($ $1,2,3,4,5,6$ en el primer $N-6$ rollos)$1/6^6$ Aproximadamente hablando de la posibilidad de no llegar a $1,2,3,4,5,6$ $M$ rollos es $(1-1/6^6)^{(M-5)}$ (esto supone la independencia, que no es del todo cierto), así que un aproximado de respuesta para la probabilidad de contraer $1,2,3,4,5,6$ por primera vez en la final de la $N$ rollos es $$\begin {cases} 0&N\lt 6\\1/6^6& 6\le N \lt 12 \\(1-1/6^6)^{N-11}/6^6&N \ge 12 \end {cases}$$