Cálculo de enlace canónico función en GLM

Question

Pensé que el enlace canónico función de $g(\cdot)$ viene de la natural parámetro exponencial de la familia. Decir, de considerar a la familia $$ f(y,\theta,\psi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)} {(\psi)}-c(y,\psi)\right\} $$ a continuación, $\theta=\theta(\mu)$ es canónica de la función de enlace. Tomar de Bernoulli distribución como ejemplo, tenemos $$ P(Y=Y)=\mu^{y}(1-\mu)^{1-y}=\exp\left\{y\log\frac{\mu}{1-\mu}+\log{(1-\mu)}\right\} $$ Así, el enlace canónico función de $$g(\mu)=\log\frac{\mu}{1-\mu}$$

Pero cuando veo a esta diapositiva, se afirma que $$ g'(\mu)=\frac{1}{V(\mu)} $$ A pesar de que puede ser fácilmente verificado por esta particular distribución (y algunas otras distribuciones, como la distribución de Poisson), yo no puedo ver la equivalencia para el caso general. Nadie puede dar consejos? Gracias~

Answer 1

La varianza de la función de la variable de Bernoulli es $V(\mu) = \mu(1-\mu)$. Podemos comprobar fácilmente que con el enlace canónico $g(\mu) = \log \frac{\mu}{1-\mu} = \log \mu - \log(1-\mu)$ $$g'(\mu) = \frac{1}{\mu} + \frac{1}{1-\mu} = \frac{1 - \mu + \mu}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{V(\mu)}.$$

Para el caso general, se deriva de la definición que $$E(Y) = \mu = b'(\theta) \quad \text{ and } \quad \text{Var}(Y) = b''(\theta) a(\psi),$$ see e.g. page 28-29 in McCullagh and Nelder. With $g$ the canonical link we have $\theta = g(\mu) = g(b'(\theta))$, and the variance function is defined as $b"(\theta)$, which in terms of $\mu$ becomes $$V(\mu) = b''(g(\mu)).$$ Por la diferenciación de la identidad de $\theta = g(b'(\theta))$ tenemos $$1 = g'(b'(\theta)) b''(\theta) = g'(\mu) V(\mu),$$ lo que da el en general la relación entre canónica de la función de enlace y la varianza de la función.

En la construcción de cuasi-verosimilitud funciones es natural comenzar con la relación entre la media y la varianza, dado en términos de la varianza de la función de $V$. En este contexto, la anti-derivada de $V(\mu)^{-1}$ puede ser interpretado como una generalización de la función de enlace, véase, por ejemplo, la definición de la (log) de cuasi-verosimilitud en la página 325 (fórmula 9.3) en McCullagh y Nelder.