¿Por qué interior de los productos en RKHS lineal de evaluación funcionales?

Question

Me gustaría saber por qué el interior de los productos en la Reproducción del núcleo de Hilbert espacios (lineal) evaluación funcionales.

Entiendo que el interior de los productos son lineales funcionales, y sé lo que es una evaluación funcional es, simplemente no puedo explicar por qué un producto interior (en un RKHS) es la evaluación funcional, y vise-versa.

Answer 1

En un espacio de Hilbert, todos lineal continua funcionales son producto interior funcionales (Riesz), y a la inversa (de Cauchy-Schwarz). En un RKHS, evaluación funcionales son continuos, lo que es equivalente a ser producto interior funcionales. El recíproco no suele ser cierto. Que es, el producto interior funcionales en un RKHS no necesita ser punto de las evaluaciones.

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert complejo que consta de funciones con valores en un conjunto $X$ tal que para cada una de las $x\in X$, la evaluación funcional de la $f\mapsto f(x)$ es continua. A continuación, para cada una de las $x\in X$ no es un porcentaje ($k_x\in H$ tal que para todo $f\in H$, $f(x)=\langle f,k_x\rangle$. (La función de $K:X\times X\to \mathbb{C}$ definido por $K(x,y)=k_y(x)=\langle k_y,k_x\rangle$ es la reproducción del núcleo de la RKHS $H$, y algunos autores comienzan con $K$ en la definición de un RKHS.) Sólo el interior de los productos con los elementos $k_x$ evaluación funcionales.

Por ejemplo, considere el espacio de Hardy $H^2$ de holomorphic funciones en la unidad de disco cuyas secuencias de la serie de Maclaurin de los coeficientes son en $\ell^2$, con un producto interior $\displaystyle{\left\langle \sum_{k=0}^\infty a_kz^k,\sum_{k=0}^\infty b_kz^k\right\rangle=\sum_{k=0}^\infty a_k\overline{b_k}}$. Evaluaciones sobre el disco abierto son continuos, como puede ser visto directamente por escribir el elemento $k_w$ $H^2$ cuyo producto interior funcional es la evaluación en $w$, $k_w(z)=\sum_{k\geq0} \overline{w}^kz^k=\frac{1}{1-\overline{w}z}$. Por lo que una condición necesaria y suficiente para un interior funcional del producto $f\mapsto\langle f,g\rangle$ es una evaluación funcional es la existencia de una $w$ en el abrir de la unidad de disco tal que $g=k_w$, una condición que los típicos $g\in H^2$ no va a satisfacer. Tenga en cuenta que el conjunto de la evaluación funcionales no es cerrado bajo la multiplicación escalar, ni adición. De hecho, es linealmente independiente.

Una más simple, pero en algunos aspectos menos interesante ejemplo es $\ell^2$ pensado como un espacio de funciones de los números enteros no negativos, donde la evaluación funcionales son sólo el interior de los productos con elementos de $\ell^2$ que tienen el valor de $1$ a un punto y se desvanecen en otros lugares. Incluso un simple ejemplo sería el de un número finito de dimensiones de espacio de Hilbert pensamiento de como funciones en un conjunto finito. En estos casos, la cardinalidad es suficiente para ver que la mayoría de los producto interior funcionales no son punto de las evaluaciones.

El producto interior funcionales y evaluación funcionales sería idéntico si estuviera considerando la posibilidad de un espacio de Hilbert $H$ como un espacio de funciones en su espacio dual, en el habitual isomorfismo de $H$ con su doble doble.

---

Añadido: Aquí es algunos elaboración en las 2 primeras frases. Si $H$ es un espacio de Hilbert y $g\in H$, entonces la función de $T_g :H\to \mathbb{C}$ definido por $T_g(f)=\langle f,g\rangle$ es un funcional lineal en $H$ llama un "producto interior funcional". Cada producto interior funcional es continua. El operador de la norma de $T_g$ es igual a $\|g\|$. El Cauchy-Schwarz desigualdad da $|T_g(f)|\leq \|f\|\|g\|$ todos los $f$, lo que significa que $\|T_g\|\leq\|g\|$. Conectar $g$ a $T_g$ da $|T_g(g)|=\|g\|^2$, mostrando que el $\|T_g\|\geq \|g\|$.

Así interno de productos funcionales son continuos, y esto sería cierto en cualquier producto interior en el espacio. La representación de Riesz teorema (para el espacio de Hilbert, a veces también llamado Riesz del lema) dice que lo contrario es cierto para un espacio de Hilbert. Usted puede ver esto por ejemplo en el artículo de la Wikipedia, y en muchos libros de texto, incluyendo los conceptos básicos de Hilbert espacios, tales como Rudin del Real y el análisis complejo. Es decir, si $T:H\to\mathbb{C}$ es cualquier funcional lineal continua, entonces existe un $g\in H$ tal que $T=T_g$.

Esperemos que la primera frase es más clara ahora. En cuanto a la segunda frase, se sigue directamente de la primera frase y la definición de RKHS, y el segundo apartado se profundiza en este. Hay más de una manera de caracterizar RKHS, y si la continuidad de punto de evaluaciones no está claro a partir de su definición, tal vez usted podría proporcionar la definición para hacer más fácil responder a sus preguntas.