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cocompact subgrupos discretos de SL_2

¿Cómo se puede construir familias de cocompact discretos subgrupos del grupo topológico $\text{SL}_2(\mathbb{C})$?

Aquí álgebra de cuaterniones podría ayudar, creo, pero tengo algunas dificultades con la construcción.

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Richard Puntos 223

Deje $k$ ser un campo de número con un lugar complejo y deje $B$ ser un álgebra de cuaterniones definido a lo largo del $k$ que ramifies en cada lugar real de $k$ (y tal vez algunos finito de lugares como bien Hilbert reciprocidad implica que el número total de ramificó lugares deben ser aún). Deje $\mathcal{O}$ ser una orden de $B$ $\mathcal{O}^1$ sus elementos de reducción de la norma $1$. La elección de una incrustación $k\hookrightarrow \mathbb{C}$ induce una incrustación $B\hookrightarrow M_2(\mathbb{C})$, que a su vez restringe a una incrustación $\Psi: \mathcal{O}^1\hookrightarrow SL_2(\mathbb{C})$. Un grupo que se conmensurables con las $\Psi(\mathcal{O}^1)$ se llama aritmética. Una media aritmética del grupo es cocompact si y sólo si el álgebra de cuaterniones $B$ es una división de álgebra (por el Teorema de Wedderburn esto es equivalente a decir que el conjunto de los lugares de $k$ que se ramifican en $B$ es no vacío).

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kamens Puntos 6043

Para la aritmética de punto de vista que usted menciona, Maclachlan y Reid del libro "La aritmética de los hiperbólico 3-variedades" es una gran referencia.

En caso de que usted está interesado, también hay muchos geométricas formas de hacerlo demasiado (aunque se podría objetar que algunos de ellos no explícitamente darle el subgrupo).

Puede crear de forma explícita cerrado hiperbólico 3-variedades de poliedros.

Usted puede tomar un número finito de covolume subgrupo y producir un cocompact subgrupo a través de hiperbólico dehn de la cirugía.

Por un teorema de R. Brooks ("Círculo de envases y co-compacto extensiones de Kleiniano grupos", de Inventar. de matemáticas. 86, 461-469 (1986)), usted puede tomar cualquier cocompact subgrupo de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$, y después de una pequeña quasiconformal conjugacy, se encuentran en un cocompact subgrupo de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$.

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