¿Es necesaria la conjugación compleja para que el producto interno sea válido?

Question

¿Cuáles son las ventajas de utilizar un producto interno lineal conjugado en un espacio vectorial complejo frente a un producto interno lineal simple? Es decir, ¿por qué exigimos que $(y,x) = \overline{(x,y)}$ en lugar de $(y,x)=(x,y)$ ? Por supuesto, esto asegura que $(x,x)$ es real y, por lo tanto, constituye una definición fácil de la norma, pero ¿es eso necesario?

Answer 1

De hecho, es necesario. Los axiomas del producto interior sin la conjugación son inconsistentes:

(Aquí $u$ , $v$ , $w$ son vectores y $c$ es un escalar)

1. $\langle cu, v\rangle = c\langle u, v\rangle$
2. $\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle$
3. Si $u \neq 0$ entonces $\langle u,u\rangle$ es un número real positivo
4. $\langle u+v,w\rangle = \langle u,w\rangle + \langle v,w\rangle$

De hecho, sólo el 1 al 3 es incoherente. En efecto, dejemos que $u$ sea cualquier vector no nulo, entonces $\langle u,u\rangle > 0$ por la condición 3. Pero si $i = \sqrt{-1}$ entonces $\langle iu, iu\rangle = i\langle u, iu\rangle$ (por 1) $ = i\langle iu, u\rangle$ (por 2) $ = i^2\langle u, u\rangle$ (por 1) $ = -\langle u, u\rangle < 0$ contradiciendo la condición 3.

El resultado es que puedes elegir: conjugar un lado de la condición 2, lo que te da los axiomas para un producto interno, o eliminar la condición 3, lo que te da los axiomas para una forma bilineal simétrica. También se podría considerar una versión más débil de la condición 3, como exigir que si $u\neq 0$ entonces $\langle u, v\rangle \neq 0$ para algunos $v$ . Eso te da formas bilineales simétricas no degeneradas.

Nótese que no hay nada malo con las formas bilineales en espacios vectoriales complejos; simplemente no son productos internos. Son conceptos disjuntos, a diferencia de lo que ocurre en los espacios vectoriales reales, donde los productos internos son sólo formas bilineales simétricas especiales. En cierto modo, las formas bilineales son más agradables que los productos internos, ya que no hay que preocuparse por la conjugación compleja. Sin embargo, las formas bilineales sobre los números complejos no dan lugar a normas, lo que significa que no dotan a los espacios vectoriales de una buena geometría. Los productos internos sí, de ahí su ubicuidad.

Answer 2

Es necesario definir el producto interior de esta manera (en un espacio vectorial complejo) para tener una buena definición de la norma de un vector. Sea $V$ sea este espacio vectorial, y tome $X\in V$ . Entonces, la norma de X se define como $|X|=\sqrt{(X,X)}$ . Esta definición es buena ( $|X|$ está bien definida para todos los $X$ ) si $(y,x)=(x,y)^*$ . Si no es el caso, por ejemplo si $(y,x)=(x,y)$ entonces $ (x,x) $ no tiene por qué ser positivo. Más: $(x,x)$ no tiene por qué ser real.

Otra cosa, relacionada con la anterior: en los espacios métricos, dado un producto interior definimos una norma (de la misma manera que hicimos arriba) y, a partir de la norma, una función de distancia. Esta función de distancia determina la topología del espacio (la topología inducida por el producto interior). Para ello, necesitamos poder definir de forma correcta la norma de un vector, y aparece de nuevo el problema.