Ayer mis compañeros y yo estábamos jugando juegos de cartas y alguien apareció esta pregunta. Hemos tratado de resolver el problema, pero no hemos podido averiguar. Esta mañana me desperté y todavía me estoy preguntando cómo resolverlo. Por favor, me ayudan? Gracias de antemano.
Respuestas
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Peter
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91
Hay 13 tipos, por lo que podemos resolver el problema de un solo tipo y, a continuación, avanzar desde allí.
La pregunta entonces es, ¿cuál es la probabilidad de sacar 4 éxitos (los reyes) en 20 muestras de la misma distribución de 4 éxitos (reyes) y 48 errores sin reemplazo?
La distribución hipergeométrica (wikipedia) nos da la respuesta a esta pregunta, y es de 1.8%.
Si un amigo apuestas en conseguir 4 de los reyes, y otra de las apuestas en conseguir cuatro reinas, ambos tienen el 1,8% de probabilidades de ganar. Necesitamos saber cuánto las dos apuestas de superposición para decir lo que la probabilidad es de al menos uno de ellos ganar.
La superposición de ambos ganadores es similar a la primera pregunta, a saber: ¿cuál es la probabilidad de sacar 8 éxitos (reyes y reinas) en 20 muestras de una distribución de 8 de éxitos (reyes y reinas) y 44 fracasos, sin reemplazo?
La respuesta es de nuevo hypegeometric, y por mi cálculo es 0.017%.
Así que la probabilidad de que al menos uno de los dos amigos, para ganar, 1.8% + 1.8% - 0.017% = 3.6%
En la continuación de esta línea de razonamiento, la parte fácil es la suma de las probabilidades individuales de tipo (13*1.8%=23.4%), y la parte más difícil es averiguar cuántas de estas 13 escenarios de superposición.
La probabilidad de obtener cualquiera de los 4 reyes o 4 reinas o 4 ases es la suma de llegar cada cuatro-de-un-tipo, menos el de la superposición de ellos. La superposición consiste en llegar 4 reyes y 4 reinas (pero no de 4 aces), la obtención de 4 reyes y los 4 ases (pero no de 4 reinas), 4 reinas y los 4 ases (pero no de 4 reyes) y de llegar a los 4 reyes y 4 reinas y los 4 ases.
Aquí es donde se pone demasiado peludo para mí para continuar, pero procediendo de esta manera con el hipergeométrica fórmula en la wikipedia, usted puede seguir adelante y escribir todo.
Tal vez alguien nos puede ayudar a reducir el problema?
Mohrschild
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1
Para dibujar al menos $k$ especificado cuatro-de-un-tipo, debemos hacer todos los $4k$ tarjetas. Esta es una distribución hipergeométrica, donde debemos sacar todas las $4k$ éxitos de población de tamaño $52.$ Hay $\binom{13}{k}$ estos conjuntos de cuatro-de-un-tipo. Por lo tanto, la posibilidad de obtener, al menos, $k$ cuatro-de-un-tipo es
$\binom{13}{k} \frac{\binom{4k}{4k}\binom{52-4k}{20-4k}}{\binom{52}{20}} = \binom{52}{20}^{-1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} ,$ $0\leq k\leq5.$
Por la inclusión-exclusión principio, la probabilidad de sacar al menos un cuatro de una clase, es por tanto igual a
$\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^{k+1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} = -\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^k \binom{13}{k} \binom{4(13-k)}{4\times 8} .$
Esto puede ser calculada numéricamente a ser de alrededor de $0.2197706.$
De dicha suma, que tiene la forma de $\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{r(n-k)}{rm},$ si restamos el $k=0$ plazo después, ya que los términos de $5<k\leq 13$ son iguales a cero. Me pregunto si hay una manera de simplificar ese tipo de suma.
