Un colector de Hilbert del hotel

Question

Bien, después de que recientemente responder a un Hotel de Hilbert pregunta, he empezado a pensar: Si un número infinito de personas llegan, la solución es que cada huésped se va a la habitación con dos veces el número. Sin embargo, si uno se imagina las puertas una tras otra (que es, en el orden de los números naturales), esto significa que cada invitado tiene que caminar una distancia que es proporcional al número de su habitación, que es ilimitado. Suponiendo constante la velocidad de la caminata, por lo tanto también el tiempo es ilimitado. Que no es realmente una solución satisfactoria.

Pero esto se resuelve fácilmente: Sólo construir el hotel, en un infinito-dimensional en el espacio Euclidiano, donde la sala de $n$ se encuentra en el punto que tiene coordenadas $x_k=\delta_{nk}$ donde $\delta$ es la delta de Kronecker. De esa manera, la distancia entre cualquiera de las dos habitaciones es $\sqrt{2}$, y de cualquier habitación de la operación de cambio, no importa lo complicado, se puede hacer en tiempo constante.

Tan lejos, tan bueno. Sin embargo, vamos a asumir que los huéspedes en el Hotel de Hilbert son convencionales en 3 dimensiones de los seres, y por lo tanto debe vivir en las 3 dimensiones del colector; moriría en la simulación de mayores dimensiones del espacio, por no hablar de un infinito-dimensional.

Por lo tanto mi pregunta:

¿Existe un 3-dimensional de Riemann colector que tiene un countably número infinito de puntos tales que dos de ellos tienen la misma distancia finita en el colector?

Answer 1

Si $x_n$ son tales puntos, a continuación, $R=d(x_1,x_n) >0$ todos los $n$ por lo tanto $x_n\in B_R(x_1)$ Desde $B_R(x_1)$ es compacto, por lo que hay una convergente larga. Por lo tanto esto no ocurra.

Answer 2

Para la posteridad aquí una aplicación de Micah sugerencia.

Deje $(\rho, \theta, \phi)$ denotar coordenadas esféricas en la unidad de pelota, $\Omega = d\phi^{2} + \sin^{2}\phi\, d\theta^{2}$ la ronda métrica en la unidad de la esfera, y $f(\rho) = \rho/(1 - \rho)$ (o cualquier lisa, la monotonía de la función definida por $0 \leq \rho < 1$ $f(0) = 0$ y, como $\rho \to 1^{-}$, $f \to \infty$ con la suficiente rapidez que $f$ no es impropiamente integrable).

En la métrica $$ g = d\rho^{2} + f(\rho)^{2}\, \Omega, $$ la distancia desde el origen hasta el límite de la pelota es la unidad, pero el elemento de volumen es $$ dV = f(\rho) \sin\phi\, d\rho\, d\theta\, d\phi. $$ Geométricamente, el valor intrínseco de los radios de conchas esféricas centradas en el origen crecer con rapidez suficiente para que el volumen es infinito.

En este universo, existen countably muchos "células" de volumen fijo (aunque no es adecuado como tres dimensiones de las habitaciones de hotel, como asintóticamente necesariamente que ser "intrínsecamente delgada en la dirección radial"), pero cualquiera de las dos habitaciones (o puntos) están separados por una distancia de más de $2$ debido a que el origen es en la mayoría de una unidad de distancia desde cada habitación.