Tenga en cuenta que $(21)=(3)(7)$, por lo que es suficiente para factorizar $(3)$$(7)$.
Esto es más fácil porque $3$ $7$ son primos en $\mathbb Z$.
Es $(3)$ un alojamiento ideal ? La inspección revela que no es : si $z_1=1-\sqrt{-5}$
y $z_2=1+\sqrt{-5}$ son no tanto en $(3)$ pero $z_1z_2=6$ es. Sencillo cálculos muestran que $(3)=(3,z_1)(3,z_2)$. Tenga en cuenta que $(3,z_1)$ $(3,z_2)$ son la misma cosa, como $\lbrace x+y\sqrt{-5} \ | \ x,y\in{\mathbb Z}, y\equiv -x\ ({\sf mod} \ 3) \rbrace$ $\lbrace x+y\sqrt{-5} \ | \ x,y\in{\mathbb Z}, y\equiv x\ ({\sf mod} \ 3) \rbrace$ respectivamente, y los dos ideales son fáciles de ver para ser primer.
Del mismo modo, se obtiene la factorización $(7)=(7,3-\sqrt{-5})(7,3+\sqrt{-5})$.
Al final, la completa Dedekind factorización de $(21)$ es
$$
(21)=(3,1-\sqrt{-5})(3,1+\sqrt{-5})(7,3-\sqrt{-5})(7,3+\sqrt{-5}) \etiqueta{1}
$$
Llamar a los factores de $J_1,J_2,J_3,J_4$, en ese orden. Un sitio ideal para una $J$, denotan su ideal de clase por $c(J)$ y deje $c_i=c(J_i)$. Sencillo cálculos muestran que $J_1^2=(2+\sqrt{-5})$, $J_3^2=(-2+3\sqrt{-5})$, $J_1J_3=(1+2\sqrt{-5})$, así
$c_1=c_2=c_3=c_4$ y el subgrupo generado por la $c_i$ es una de dos elementos
grupo.
También se puede demostrar que todo el grupo de clase se compone sólo de dos elementos, pero eso es un poco más difícil.
