Suma de una serie infinita: $\sum_{n=1}^\infty \frac{4^{2n}}{n^3 \binom{2n}{n}^2} = 8\pi G-14\zeta(3)$

Question

Tengo problemas para probar

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{4^{2n}}{n^3 \binom{2n}{n}^2} = 8\pi G-14\zeta(3)$$

Lo sé

$$\frac{2x \ \arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(2x)^{2n}}{n \binom{2n}{n}}$$

¿Qué debo hacer si el coeficiente binomial es cuadrado?

Answer 1

Esta serie se evalúa exactamente la misma solución que la de las integrales:

$\displaystyle 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{2}\csc(x)dx$

y $\displaystyle 16\int_{0}^{1}\frac{(\tan^{-1}(x))^{2}}{x}dx$

EDITAR:

He encontrado una manera de evaluar serie, dijo con la csc.

Sin embargo, yo voy a usar algunas ya establecidas identidades.

La reescritura de la serie como $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^{2n}(n!)^{4}}{n^{3}((2n)!)^{2}}$

Comenzar con la mano $\displaystyle(\sin^{-1}(t))^{2}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^{2}}{n^{2}(2n)!}(2t)^{2n}$

Ahora, vamos a $\displaystyle x=\sin^{-1}(t)$: $\displaystyle x^{2}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^{2}}{n^{2}(2n)!}2^{2n}\sin^{2n}(x)$

Dividir por $\displaystyle\sin(x)$ e integrar de $0$ $\displaystyle\frac{\pi}{2}$

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{2}\csc(x)dx=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^{2}}{n^{2}(2n)!}2^{2n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n-1}(x)dx...[1]$

Pero, $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n-1}(x)dx=\frac{2^{2n}(n!)^{2}}{2n(2n)!}$

Subbing esta en [1] los resultados en: $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{2}\csc(x)dx=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^{2n}(n!)^{4}}{n^{3}((2n)!)^{2}}$

Ahora, multiplica por 4 y llegar a la final:

$\displaystyle4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{2}\csc(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^{2n}(n!)^{4}}{n^{3}((2n)!)^{2}}$

Desde $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{2}\csc(x)dx=2\pi G-7/2\zeta(3)$,

multiplicando por 4 nos da el resultado deseado.

Por supuesto, la evaluación de la integral puede ser demostrado si es necesario. Pero, es un lugar famoso, y que puede ser encontrado aquí y allá.