Duales secuenciales y topológicas de los espacios de la función de prueba

Question

Dada una función de prueba en el espacio, en particular, $\mathcal{S}=\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ (el espacio de Schwartz) o $\mathcal{D}=\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ (el espacio de forma compacta compatible suave funciones de prueba con su habitual topología, como se define, por ejemplo aquí), yo entiendo que la generalizada funciones pueden ser definidas como elementos de la topológica del espacio dual, en nuestros ejemplos resp. $\mathcal{S}'$ o $\mathcal{D}'$.

$\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ es un metrisable espacio, por lo tanto secuencial. Por lo tanto, su dual topológico es la misma que la de su secuencial de doble, es decir el espacio de forma secuencial continuo funcionales en $\mathcal{S}$. $\mathcal{D}$, por otro lado, no es metrisable. Recuerdo haber visto en algún lugar que ni siquiera es la primera contables (me daría la bienvenida a la verificación). Sin embargo, tengo una vaga noción de que para un funcionamiento $f$ a pertenecer en $\mathcal{D}'$, es suficiente con que sea de forma secuencial continuo en $\mathcal{D}$. De ahí mis preguntas siguientes:

1. Es cierto que de forma secuencial continuo funcionales en $\mathcal{D}$ son de la misma como la continua? Dicho de otra manera, ¿ secuencial y continua duales de $\mathcal{D}$ coinciden?

2. Suponiendo que 1 es cierto, no se sigue que la $\mathcal{D}$-a pesar de no ser el primero-contable-es un proceso secuencial de espacio? En otras palabras, hacer las nociones de continuidad y secuencial continuidad coinciden general asignaciones de $\mathcal{D}$ a cualquier espacio topológico $X$?

3. Para la prueba general de la función de los espacios que no pueden ser secuenciales, que es el más adecuado: Para definir generalizado de las funciones como elementos de su continuo espacio dual, o de la secuencial de doble?

4. Es 3 incluso relevantes (es decir, puede probar la función de los espacios de ser razonablemente concebido), dada la gran cantidad de requisitos que normalmente se colocan en una función de prueba de espacio, tales como la nuclearidad?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Una primera observación general: Un espacio vectorial topológico es metrizable si y sólo si es la primera contables. Para responder a tus preguntas:

• Sí, Q1 y Q2 son verdaderas. Deje $K_i$ ser una definición de la secuencia de conjuntos compactos para el espacio de $\mathcal{D}$. Como la topología en $\mathcal{D}$ es la topología final (es decir, el mejor ejemplo de que todas las inyecciones $\mathcal{D}_{K_i} \to \mathcal{D}$ son continuas), un mapa de $T$ $\mathcal{D}$ es continua, iff su restricción a cada una de las $\mathcal{D}_{K_i}$ es continua. Y para ello, secuencial continuidad de $T$ es suficiente (suponiendo que el hecho conocido, que una secuencia de funciones de prueba converge si el soporte de las funciones están contenidas en un $K_i$ y la secuencia converge en $\mathcal{D}_{K_i}$.
• Q3 y Q4: no sé si existen ejemplos pertinentes. Yo siempre requieren continuidad.