He aquí algunas respuestas a sus diversas preguntas:
Para el grupo $GL_2$ toda representación automórfica cuspidal de $GL_2(\mathbb A)$ (aquí $\mathbb A$ es el anillo adele de $\mathbb Q$ ) está generada por una nueva forma determinada de forma única, que (cuando se normaliza de forma adecuada) es una nueva forma clásica en el sentido de Atkin y Lehner, es decir, una cusp forma holomórfica de cierto peso $k \geq 1$ que es una eigenforma para todos los operadores de Hecke, y de nivel mínimo posible para su sistema asociado de eigenvalores de Hecke, o bien es una newform de Maass (igual que antes pero sustituyendo la cuspforma holomorfa de peso $k \geq 1$ por la forma de Maass, que es una eigenforma para el Laplaciano con algún valor propio $\lambda$ ).
Hay una conjetura de Selberg que en el caso de la forma Maass, $\lambda \geq 1/4$ . Esto sigue abierto (aunque se conocen límites inferiores que se aproximan); es un análogo "en el infinito" de la conjetura de Ramanujan--Petersson. (Más concretamente, Langlands explicó cómo unificar la conjetura de Selberg con la conjetura de Ramanujan--Petersson utilizando el lenguaje de las representaciones automórficas y el concepto de factores locales "templados". El factor local en el infinito para una nueva forma holomórfica es una serie discreta (o límite de series discretas en el caso de peso uno), y por tanto automáticamente atemperada, pero para las formas de Maass el factor local en el infinito es una serie principal unitaria, y entonces la atemperación es una condición adicional no trivial).
Se ha demostrado (esencialmente por Eichler--Shimura cuando $k = 2$ de Deligne para el caso general de $k \geq 2$ y por Deligne y Serre cuando $k = 1$ ) que las nuevas formas holomorfas dan lugar a representaciones de Galois bidimensionales, y se conjetura (pero no se demuestra en general) que $\lambda = 1/4$ Las formas de Maass también dan lugar a representaciones de Galois bidimensionales. Las formas de Maass con $\lambda \neq 1/4$ (es decir $\lambda > 1/4$ si la conjetura de Selberg es cierta) no se espera que correspondan a representaciones de Galois.
¿Qué significa exactamente "dar lugar a representaciones de Galois bidimensionales"? Se lo explicaré. (Nota: a partir de ahora, para evitar circunloquios, escribiré afirmaciones, pero en la forma de Maass $\lambda = 1/4$ siguen siendo conjeturas en general; en el caso holomorfo son todos teoremas demostrados).
En realidad, lo que ocurrirá es que la nueva forma corresponderá a un motivo bidimensional. Este motivo tiene $\ell$ -para cada $\ell$ y estos formarán un sistema compatible de dos dimensiones $\ell$ -representaciones radicales de $G_{\mathbb Q}$ .
Este motivo también tiene una estructura de Hodge, que tiene números de Hodge $(0,0), (0,0)$ en el $\lambda = 1/4$ caso, y $(k-1,0), (0,k-1)$ en el caso holomorfo. En el caso $\lambda = 1/4$ o en el caso del peso holomórfico $1$ ya que los números de Hodge son $(0,0), (0,0)$ el motivo procederá de una variedad de dimensión cero, es decir, será un motivo bidimensional de Artin, por lo que el $\ell$ -pueden consolidarse en una única representación Artin de Artin $G_{\mathbb Q} \to GL_2(\mathbb C)$ . Sin embargo, en el caso holomórfico cuando $k \geq 2$ el motivo provendrá de una variedad de dimensión positiva, por lo que el $\ell$ -ádicas no podrán simplificarse en una única representación Artin (por ejemplo, porque tendrán imagen infinita, no finita).
Por ejemplo, en el caso $k = 2$ los números de Hodge son $(1,0), (0,1)$ que dice que el motivo proviene de una cierta variedad abeliana. La dirección $\ell$ -son las representaciones $\ell$ -(o más bien, sus duales, si se quiere ser cuidadoso con la distinción entre cohomología y homología) de esta variedad abeliana.
Ahora debería decir algo sobre los coeficientes. Los valores propios de Hecke de la nueva forma serán números algebraicos, y colectivamente generarán una extensión finita $E$ de $\mathbb Q$ . El motivo adjunto al nuevo formulario tendrá $E$ actuando como endomorfismos, y cuando digo que es bidimensional, quiero decir que es bidimensional sobre $E$ . Así, el $\ell$ -Las representaciones ádicas serán en realidad dos bidimensionales $\lambda$ -para cada primo $\lambda$ de $E$ es decir, serán representaciones $G_{\mathbb Q} \to GL_2(E_{\lambda})$ .
Por ejemplo, si $k = 2$ y la nueva forma $f$ tiene nivel $N$ entonces podemos formar el jacobiano $J_1(N)$ de $X_1(N)$ y esto tiene una acción de $\mathbb T$ el álgebra de Hecke en el nivel $N$ . La acción de $\mathbb T$ en $f$ da lugar a un homomorfismo $\mathbb T \to E$ (envío $T_p$ a la $p$ eigenvalor de Hecke de $f$ ), y podemos formar $A_f:= E\otimes_{\mathbb T} J_1(N)$ que es una variedad abeliana bien definida hasta la isogenia. Tiene dimensión $[E:\mathbb Q]$ y endomorfismos por $E$ y así para cada $\lambda$ formamos su $\lambda$ -Módulo Tate, y (el dual de) éste es bidimensional sobre $E_{\lambda}$ y es el $\lambda$ -representación de Galois $f$ .
En particular, si $k = 2$ y $E = \mathbb Q$ (es decir, todos los valores propios de Hecke de $f$ son números racionales) entonces $A_f$ es una curva elíptica, y ésta es la asociación de curvas elípticas para ponderar dos nuevas formas con valores propios racionales de Hecke. (Obsérvese que en este caso $f$ automáticamente tiene nivel $\Gamma_0(N)$ en lugar de $\Gamma_1(N)$ por lo que en la anterior sustituimos $X_1(N)$ y $J_1(N)$ por $X_0(N)$ y $J_0(N)$ que puede resultar un poco más familiar).
Supongamos a la inversa que $M$ es un motivo con endomorfismos por un campo numérico $E$ irreducible y de dimensión dos sobre $E$ . Se conjetura que $M$ se adjunta a un nuevo formulario. De hecho, podemos determinar la nueva forma con precisión (suponiendo que exista): la ramificación de $M$ determinará el nivel, y contando puntos en $M$ mod primos determinarán los valores propios de Hecke de la nueva forma. Los números de Hodge de $M$ (posiblemente tras un giro de Tate) será $(i,0),(0,i)$ para algunos $i \geq 0$ . Si $i > 0$ entonces la nueva forma tendrá que ser un peso $i + 1$ nueva forma holomorfa. Si $i = 0$ entonces la nueva forma será holomorfa de peso uno, o una $\lambda = 1/4$ Maass; para saber cuál es, hay que fijarse en la acción de la conjugación compleja sobre la estructura de Hodge: si es no escalar (lo que se suele llamar "impar"), estamos en el caso holomórfico, mientras que si es escalar (se suele denominar "par") se está en el caso Maass. (La razón de "impar" y "par" es que en estos casos el determinante de la conjugación compleja sobre el $\ell$ -es la cohomología $-1$ resp. $+1$ .)
Supongamos que el motivo $M$ proviene de una curva elíptica $C$ . (Yo uso $C$ en lugar de $E$ porque $E$ era mi notación para el campo de coeficientes).
Entonces los números de Hodge son $(1,0),(0,1)$ por lo que esperamos que haya una nueva forma de peso dos $f$ tal que $C = A_f$ . (Ya que $A_f$ sólo está definida hasta la isogenia, esta igualdad debe entenderse como una isogenia). Pero si $C$ es isógeno a un factor del jacobiano de $X_0(N)$ (que es lo que estamos diciendo), entonces esto implica (de hecho es equivalente a) $C$ siendo un cociente de $X_0(N)$ .
A veces las cosas se plantean en términos de $L$ -funciones en lugar de motivos (porque es sutil pensar en los motivos, y partes de la teoría de los motivos siguen siendo conjeturas). En el caso de las curvas elípticas, sin embargo, todo se sabe, porque Faltings demostró la conjetura de Tate, a saber, que dos curvas elípticas con la misma $L$ -son isógenas. Dado que se puede leer $L$ -de la función $\ell$ -módulo Tate, esto dice que incluso sabiendo que el $\ell$ -módulo de Tate de $C$ coincide con el $\ell$ -representación de Galois $f$ (incluso para un solo $\ell$ ) es suficiente para obtener $C = A_f$ . (Por eso a veces las cosas se formulan en términos de $L$ -a veces en términos de repeticiones de Galois, y a veces en términos de motivos --- las formulaciones son todas conjeturalmente equivalentes, y son conocido sean equivalentes en el caso de la curva elíptica).
La discusión anterior muestra que la conjetura general sobre pasar de motivos bidimensionales a nuevas formas es una generalización de Shimura--Taniyama. Se conoce en el caso impar (se deduce de la conjetura de Serre, demostrada por Khare, Wintenberger y Kisin; véase Cor. 0.5 de Documento de Kisin ). Está abierto en general en el caso par (al igual que la construcción de motivos, o representaciones de Galois, a partir de $\lambda = 1/4$ Las formas de Maass están muy abiertas). (Pero tenga en cuenta que es probado en el caso de imagen soluble, por Langlands--Tunnel --- ver más abajo).
Como ya he señalado: se puede evitar hablar de motivos y, en su lugar, hablar de familias compatibles de $\ell$ -ádicos de Galois. (más exactamente, $\lambda$ -si fijamos nuestro campo de coeficientes $E$ ), o incluso $\ell$ -adic (o $\lambda$ -adic) repeticiones. para una única elección de $\ell$ o $\lambda$ .
Hay flechas
$$\text{motives } \to \text{ compatible families of $ \ell $-adic reps. } \to \text{ $ \ell $-adic rep. for a fixed $ \ell $} $$
dado al pasar a $\ell$ -para todo $\ell$ y, a continuación, seleccionando un $\ell$ . Estos mapas son inyectivos (la primera conjetura en general --- esta es la conjetura de Tate), pero no suryectivos. No todas las familias compatibles provienen de un motivo, y no todos los individuos $\ell$ -rep. adic. se sienta en una familia compatible.
Existe una conjetura de Fontaine y Mazur que describe (¡conjeturalmente!) esos $\ell$ -que provienen de motivos. (Aquí $\ell$ es un primo fijo, y podría estar hablando de $\lambda$ -aquí, pero es más tradicional decir $\ell$ -ádica en lugar de $\lambda$ -ádica, incluso cuando lo que se quiere decir es esto último). En el caso bidimensional, para representaciones que se supone que proceden de nuevas formas holomorfas de peso $k \geq 2$ está ampliamente demostrado: véase, por ejemplo, Thm. 1.2.4 (2), y también la discusión en la Sección 1.4, de este documento así como este documento de Kisin y estos papeles de Calegari. (Todos estos trabajos se basan en los de Wiles y Taylor--Wiles).
En el caso de representaciones que se supone que proceden de formas holomorfas de peso uno o de formas de Maass con $\lambda = 1/4$ la situación es más complicada. Si se supone que la rep. de Galois es impar y tiene imagen finita, entonces se sabe que procede de una forma de peso uno; esto se deduce de la conjetura de Serre, como se ha señalado anteriormente. Sin embargo, es supuesto ser suficiente (según Fontaine y Mazur) para suponer que el $\ell$ -tiene una imagen finita sobre la inercia en $\ell$ --- esto debería entonces implica que toda la imagen es finita. Sin embargo, esto no está demostrado en general; creo que este resultado de Buzzard que se ocupa de ciertos casos impar, es el mejor resultado general actualmente.
En el caso par, si se supone que la imagen es finita y resoluble, entonces Langlands--Tunnel dan una $\lambda = 1/4$ forma de Maass que da lugar a su rep. de Galois, pero (todavía en el caso par ahora), si la imagen es finita pero no resoluble, o (aún peor) si simplemente se supone que la imagen de la inercia en $\ell$ es finito, entonces la conjetura está muy abierta.
Tenga en cuenta que $2$ -Los repetidores bidimensionales de Artin (es decir, de imagen finita) son sólo un caso especial de todos los repetidores bidimensionales. $\ell$ -rep. adic. (correspondientes a $\lambda = 1/4$ forma Maass o formas de peso uno --- al menos conjeturalmente, en el caso par), y el $\ell$ -Los módulos Tate de curvas elípticas son otro caso especial de estas repeticiones. Incluso si se escriben todas las $\ell$ -que provienen de todas las nuevas formas, hay incontables maneras de otras irreducibles bidimensionales $\ell$ -representantes deadic. que no vienen de motivos en absoluto.
