La integración de una función racional.

Question

Cómo integrar % $ $$\int_1^{\infty}\frac{2x^3-1}{x^6+2x^3+\sqrt3x^2+1}{\rm d}x$la parte inferior no es factorizable por lo tanto no hay fracciones parciales. Parece haber ninguna otra manera.

Answer 1

$$\begin{align}\int_{1}^{\infty}\frac{2x^3-1}{x^6+2x^3+\sqrt 3x^2+1}dx&=\int_{1}^{\infty}\frac{2x^3-1}{(x^3+1)^2+\sqrt 3x^2}dx\\&=\int_{1}^{\infty}\frac{(2x^3-1)/(x^2)}{\left((x^3+1)^2+\sqrt 3x^2\right)/(x^2)}dx\\&=\int_{1}^{\infty}\frac{2x-\frac{1}{x^2}}{\left(x^2+\frac 1x\right)^2+\sqrt 3}dx\\&=\int_{2}^{\infty}\frac{du}{u^2+\sqrt 3}\ \ \ \ (\text{set $x^2+\frac 1x=u$})\\&=\int_{\arctan\frac{2}{\sqrt[4]{3}}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{\sqrt[4]{3}}\ \ \ \ (\text{set $u=\sqrt[4]{3}\tan\theta$})\\&=\frac{1}{2\sqrt[4]{3}}\left(\pi-2\arctan\frac{2}{\sqrt[4]{3}}\right).\end{align}$$