¿Cuántos números entre $100$ y $900$ tienen la suma de sus dígitos igual a $15$ ?

Question

¿Cuántos números entre $100$ y $900$ h igual a $15$ ?

Me preguntaba si podríamos derivar alguna fórmula combinatoria directa para resolver un problema como este. $100$ à $200$ entonces $200$ à $300$ luego ...,y finalmente sumándolos para obtener $62$ (si no hay error)aunque esto puede no ser muy difícil de resolver utilizando este enfoque (ya que estamos tratando con $3$ dígitos números con dígitos individuales no mayores que $9$ )¿pero es también la más rápida/eficiente?

Answer 1

Este problema puede reducirse a resolver

$$x_1 + x_2 + x_3 = 15, \quad 0 \leq x_i \leq 9, \quad x_1 \neq 0, \quad x_1 \neq 9$$

En primer lugar, resolvemos

$$x_1 + x_2 + x_3 = 15, \quad 0 \leq x_i \leq 15$$

Se trata de una norma estrellas y barras problema, con solución $\binom{15+3-1}{15} = 136$ . ¿Qué soluciones son erróneas? Bueno, en primer lugar las que tienen una de las anteriores $10$ . Pero si, digamos, $x_1 \geq 10$ podemos escribir $x_1' = x_1 - 10$ y $x_2' = x_2, x_3' = x_3$ para reducir el problema a

$$x_1' + x_2' + x_3' = 5, \quad 0 \leq x_i' \leq 5$$

Se trata de nuevo de un problema estándar de estrellas y barras, con solución $\binom{5+3-1}{5} = 21$ . Dado que exactamente uno de $x_1,x_2,x_3$ podría estar por encima de $10$ esto da $3 \cdot 21 = 63$ soluciones erróneas en total. Así que hay $136 - 63 = 73$ soluciones para

$$x_1 + x_2 + x_3 = 15, \quad 0 \leq x_i \leq 9$$

Por último, tenemos que restar $4$ soluciones con $x_1 = 0$ (es decir $(x_2,x_3) \in {(6,9),(7,8),(8,7),(9,6)}$ ), pero también resta $7$ soluciones para $x_1 = 9$ (es decir $(x_2,x_3) \in {(0,6),\ldots,(6,0)}$ ). Esto da $62$ soluciones en total.

Answer 2

Esto es casi una norma estrellas y barras (o canicas y cajas). Tienes que $15$ canicas, y quieres distribuirlas entre $3$ casillas (los dígitos) de tal manera que la primera casilla reciba al menos una canica y como máximo $8$ canicas y cada una de las otras dos cajas recibe como máximo $9$ canicas. ( $900$ es el único admisible $3$ -número de dígitos que comienza por $9$ y sus dígitos no suman $15$ por lo que puede ignorarse). Equivalentemente, estás buscando soluciones enteras no negativas a $x_1+x_2+x_3=15$ sujeta a las restricciones $1\le x_1 \le 8, x_2,x_3 \le 9$ .

Después de poner una canica en la primera casilla, has $14$ para distribuir. Ignorando los límites superiores, esto puede hacerse en $\dbinom{14+3-1}{3-1}=\dbinom{16}{2}=120$ formas. Las formas que tienen al menos $9$ Las canicas de la primera caja son malas, por lo que hay que restarlas. Después de poner $9$ canicas en la primera caja, has $6$ izquierda para distribuir; esto puede hacerse en $\dbinom{6+3-1}{3-1}=\dbinom{8}{2}=28$ formas. Del mismo modo, hay $\dbinom{4+3-1}{3-1}=\dbinom{6}{2}=15$ distribuciones que tienen demasiadas canicas en la segunda caja (porque después de poner una en la primera caja y $10$ en la segunda casilla sólo tienes $4$ izquierda a distribuir) y $15$ que tienen demasiados en la tercera casilla. No es posible tener demasiadas canicas en dos cajas: eso requeriría al menos $19$ canicas. Así, el recuento final es $120-28-2(15)=62$ números entre $100$ y $900$ cuyos dígitos suman $15$ .

Answer 3

SUGERENCIA:

$x_1 + x_2 + x_3 = 15, \; x_1 \geq 1, \; x_1, x_2, x_3 < 10$ es muy relevante aquí.

Answer 4

Hay una alta relación masa:volumen, así que aquí vamos ...

Voy a empezar a contar, ya que se están publicando otras respuestas.
$15 = 9 + 6 + 0$ . ¿Cuántas permutaciones de esto hay entre $100$ y $900$ ?

$15 = 9 + 5 + 1$ . ¿Cuántos...?

$15 = 9 + 4 + 2$ ...

...

$15 = 8 + 7 + 0$

...

$15 = 7 + 7 + 1$ ...

Answer 5

Escribí una simple prueba de fuerza bruta para esto:

[Test]
public void GivenNumbersBetween100And900_WhenCalculatingItsNumbers_ThenPrintThoseWhoEqual15()
{
    var counter = 0;
    for (var hundredth = 1; hundredth <= 9; hundredth++)
    {
        for (var tenth = 0; tenth <= 9; tenth++)
        {
            for (var singles = 0; singles <= 9; singles++)
            {
                if (hundredth + tenth + singles == 15 && 100*hundredth + 10*tenth + singles <= 900)
                {
                    counter++;
                    Console.WriteLine("{0:D3}: {1}{2}{3}", counter, hundredth, tenth, singles);
                }
            }
        }
    }
    Assert.That(counter, Is.EqualTo(62));
}

Y el resultado es:

001: 159
002: 168
003: 177
004: 186
005: 195
006: 249
007: 258
008: 267
009: 276
010: 285
011: 294
012: 339
013: 348
014: 357
015: 366
016: 375
017: 384
018: 393
019: 429
020: 438
021: 447
022: 456
023: 465
024: 474
025: 483
026: 492
027: 519
028: 528
029: 537
030: 546
031: 555
032: 564
033: 573
034: 582
035: 591
036: 609
037: 618
038: 627
039: 636
040: 645
041: 654
042: 663
043: 672
044: 681
045: 690
046: 708
047: 717
048: 726
049: 735
050: 744
051: 753
052: 762
053: 771
054: 780
055: 807
056: 816
057: 825
058: 834
059: 843
060: 852
061: 861
062: 870