Cómo calcular el género

Question

¿Cómo calcular el género de $ \{X^4+Y^4+Z^4=0\} \cap \{X^3+Y^3+(Z-tW)^3=0\} \subset \mathbb{P}^3$?

Sabemos que el género de $ \{X^4+Y^4+Z^4=0\} \subset \mathbb{P}^3$ 3 porque el grado es 4. Ahora, quiero saber el género de la intersección como una curva. Para eso tengo que usar la fórmula de la adición y el hecho de que $K_{\mathbb{P}^3}=O(-4)$.

Answer 1

Si $X$ es el la intersección en $\mathbb{P}^3$ de los dos hypersurfaces grados $d_1$, $d_2$, respectivamente, y $\mathrm{dim} \ X = 1$, entonces el género de $X$: $$ g = \frac{d_1^2d_2 + d_1 d_2 ^ 2} {2}-2 d_1 d_2 + 1. $$ Así que, en su caso $d_1 = 4$ y $d_2 = 3$, por lo tanto $g = 19$.

Answer 2

Ay, no sé cómo usar $K_{\mathbf{P}^3}$ aquí, así que esta solución puede no ser de utilidad para usted.

Suponiendo que $t\neq0$, y que su campo base $k$ es algebraicamente cerrado con char $k > 3$, entonces (escrito $U=Z-tW$) la función de campo de esta variedad es $k(y,z,u)$, con $y=Y/X$, $z=Z/X$, $u=U/X$, $z^4+y^4+1=0$, $u^3+y^3+1=0$. Esta es una torre de extensiones de Kummer, así ramificación es fácil de comprobar. Toda la ramificación de la $k(y,z)/k(y)$ se produce en el 4 (finito) de los lugares con $y^4+1=0$. Tenemos $e=4$ para todos estos puntos, por lo que el género $g'=g(k(y,z))$ puede ser resuelto a partir de $$ 2g'-2=4(2\cdot0-2)+4\cdot(4-1)\Rightarrow g'=3, $$ como era de esperar.

De manera similar, todos los ramificación en $k(y,z,u)/k(y,z)$ se lleva a cabo en esos puntos, donde $y^3+1=0$. Esta ecuación tiene 3 soluciones en $k$ y ninguno de ellos son también soluciones de $y^4+1=0$. Por lo tanto, el 3 ramificado lugares de $k(y,u)/k(u)$ se convierten en 12 ramificado lugares de $k(y,z,u)/k(y,z)$. Para todos ellos tenemos $e=3$. Por lo tanto, el género $g''$ $k(y,z,u)$ es $$ 2g"-2=3(2\cdot 3-2)+12(3-1)\Rightarrow g"=19. $$