¿Hay maneras de resolver ecuaciones con múltiples variables?

Question

Yo no estoy en un nivel alto en matemáticas, así que tengo una pregunta simple que una simple búsqueda en Google no puede contestar, y el otro de Intercambio de la Pila preguntas no. Pensé acerca de esta pregunta después de leer un creativo libro de matemáticas. Aquí es la pregunta que me estaba haciendo, que he utilizado el manual de soluciones en la vergüenza(No las palabras exactas, pero la misma idea):

La pregunta en la blockquotes a continuación no es la pregunta, yo estoy pidiendo respuestas. Algún entendido mal lo que estoy pidiendo. Lo que yo estoy pidiendo es en la última frase del párrafo.

Supongamos $a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$ son números enteros, donde $0\le a_i< i$.

$\frac 57 = \frac {a_2}{2!}+\frac {a_3}{3!}+\frac {a_4}{4!}+\frac {a_5}{5!}+\frac {a_6}{6!}+\frac {a_7}{7!}$

Encontrar $a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7$.

La solución a esta pregunta en particular requiere que $a_7$ y el resto de variables en los pasos posteriores de la álgebra proceso de restos cuando ambas partes se divide por un número entero. Ahora estoy pensando ¿qué pasa si una ecuación que nunca llega hasta donde el método para resolver la pregunta anterior no puede trabajar debido a que las variables no ser capaz de devolver los restos. Por lo tanto, mi pregunta es si es posible resolver ecuaciones algebraicas con más de dos variables y la mayoría de las variables que tienen coeficientes constantes, no es un sistema de ecuaciones, y las variables que se supone que ser números enteros, y la solución es única.

Qué tal una manera de resolver este tipo de ecuaciones en general existen? Si es así, por favor explique. ¿Qué es esta parte de la matemática llamada?

Gracias.

Answer 1

Multiplicando por el denominador común $7!$, obtenemos

$$ 2520 a_2 + 840 a_3 + 210 a_4 + 42 a_5 + 7 a_6 + a_7 = 3600$ $ Tomar este mod $7$:

$$ a_7 \equiv 2 \mod 7$ $ Desde $0 \le a_7 < 7$, esto quiere decir $a_7 = 2$ y luego (la sustitución de esta y dividiendo por $7$): $$ 360 a_2 + 120 a_3 + 30 a_4 + 6 a_5 + a_6 = 514$ $ tomando este mod $6$: $$ a_6 \equiv 4 \mod 6$ $ así $a_6 = 4$.
Continuando con el proceso, obtenemos %#% $ #%

Answer 2

Bien, si las variables pueden tomar solamente valores enteros, entonces usted tiene una ecuación de Diophantine. El campo de las matemáticas sería la teoría de números.

No existe ningún método general para resolver una ecuación de Diophantine, sólo para casos especiales (por ejemplo, el suyo, que pasa a ser lineal).

Answer 3

Cuando no se puede resolver una ecuación de diophantine

El MRDP teorema muestra que no existe un método sistemático para determinar si cualquier diophantine ecuación tiene una solución. Así que si por "resolver" incluir en averiguar si no hay solución, entonces es absolutamente imposible en general. Incluso si usted está garantizado que tiene un número finito de soluciones, aún no puede sistemáticamente encontrar todos los de ellos. La razón es que de lo contrario podemos usar este tipo de oracle $D$ a resolver la suspensión problema de la siguiente manera.

Deje $H$ ser el programa siguiente en la entrada de $(P,x)$:

La salida del siguiente programa $Q$ con la entrada de $n$:

Si $n = 0$, entonces:

Ejecute $P(x)$.

Aceptar.

Rechazar.

Entonces claramente $H(P,x)$ es un programa que acepte un número finito de RE (de forma recursiva-enumerable. Por MRDP podemos computably convertirla en una ecuación de diophantine con un número finito de soluciones. Ahora todo lo que tienes que hacer es preguntar a $D$ encontrar todas las soluciones, y acepte $(P,x)$ fib $D$ encuentra una solución.

Ahora desde $D$ es siempre debía detener, va a encontrar una solución iff $P$ se detiene en $x$, y por lo tanto tenemos computably resuelto el cese problema. Pero eso es imposible y, por tanto, $D$ no puede existir.

En resumen, incluso si usted garantiza que una ecuación de diophantine tiene a lo más una solución única, no es, en general, ningún procedimiento sistemático para encontrar si hay una solución, por no decir encontrar la solución!

Cuando se puede resolver una ecuación de diophantine

Para una determinada ecuación diophantine, uno puede ser capaz de encontrar y probar las soluciones a través necesariamente ad-hoc métodos. Lo anterior muestra que no podemos hacer mejor que los ad-hoc métodos, aunque cada uno ad-hoc método se puede solucionar de una gran clase de diophantine ecuaciones. Por ejemplo, la congruencia de mod $n$ fijos $n$ puede fácilmente demostrar la no existencia de soluciones para una gran clase de ecuaciones. Resulta que hay ecuaciones que no tienen solución, pero tal que congruencias nunca será capaz de descartar todas las posibilidades.

Otra situación en la que podemos resolver una ecuación de diophantine es que si se nos dice que hay al menos $k$ soluciones, y necesaria para encontrar sólo $k$ de ellos. En este caso podemos iterar a través de todas las posibilidades hasta que hemos encontrado $k$ soluciones.

Por último, por supuesto no es el caso trivial donde nos dicen que para encontrar todas las soluciones dentro de algún conjunto finito.

Answer 4

Esto es equivalente a preguntar qué valores puede tomar una función lineal $f (x) := 1_6^T x$ sobre la intersección de lo siguiente polytope convexo

$$[0,1] \times [0,2] \times [0,3] \times [0,4] \times [0,5] \times [0,6]$$

with the following hyperplane

$$\left\{ x \in \mathbb{R}^6 \,\,\bigg|\,\, \frac{x_1}{2!} + \frac{x_2}{3!} + \frac{x_3}{4!} + \frac{x_4}{5!} + \frac{x_5}{6!} + \frac{x_6}{7!} = \frac{5}{7}\right\}$$

and the integer lattice $\mathbb Z ^ 6 $. This reminds me of integer programming.

Brute-forcing in Haskell

λ filter (\(x1,x2,x3,x4,x5,x6)->x1%2+x2%6+x3%24+x4%120+x5%720+x6%5040==5%7) [ (x1,x2,x3,x4,x5,x6) | x1 <- [0,1], x2 <- [0..2], x3 <- [0..3], x4 <- [0..4], x5 <- [0..5], x6 <- [0..6] ]
[(1,1,1,0,4,2)]

we conclude that there exists only one integer point, $ (1,1,1,0,4,2) $, in the intersection of the polytope and the hyperplane. Evaluating $f $ at this point, we obtain

$% $ $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 9$