¿Qué tan lento / rápido puede crecer la norma $L^p$?

Question

Este es en realidad un ejercicio en el capítulo de espacios $L^p$ de Real and Complex Analysis de Rudin. ¿Alguien puede ayudarme? Gracias de antemano.

Motivación: Es bien sabido que si tenemos una función $f$ que pertenece a $L^p(0,1)$ para todo $p\ge 1$. Entonces $\lim_{p\rightarrow \infty}\|f\|_p=\|f\|_{\infty}$ (además, $\|f\|_p$ es creciente en $p$). Esto es cierto incluso si $\|f\|_{\infty}=\infty.

Pregunta: ¿Qué tan lento (rápido) puede crecer $\|f\|_p$ cuando $\|f\|_{\infty}=\infty$? Más precisamente, dada cualquier función positiva creciente $\Phi$ con $\lim_{p\rightarrow \infty}\Phi(p)=\infty$, ¿siempre podemos encontrar una función $f$ que pertenezca a $L^p(0,1)$ para todo $p\ge 1$, y $\|f\|_{\infty}=\infty$, tal que $\|f\|_p\le (\ge)\Phi(p)$ para $p$ grande?

Answer 1

Responderé a la pregunta de si $\|f\|_p$ puede crecer arbitrariamente lento; la respuesta es sí. Estoy bastante seguro de que también puede crecer arbitrariamente rápido, y, aunque no le he prestado mucha atención, sospecho que se puede elaborar un argumento similar. El problema parece no depender del intervalo $(0,1)$, por lo que lo que escribo a continuación tampoco lo hace. Si realmente quieres colocarlo todo en $(0,1)$, no es difícil hacerlo.

Sea $\Phi$ como dices. Aquí está la idea: Elegimos conjuntos disjuntos $E_n$ con medida positiva (pero aún indeterminada) y requerimos que $f=\sum_{n=1}^{\infty} c_n\chi_{E_n}$, donde $\{c_n\}$ es una secuencia de números positivos que tienden a infinito, y $\chi_{E_n}$ es la función característica de $E_n$. Esto asegura que $f\notin L^{\infty}$. Suponiendo (como podemos) que $\Phi(p)$ está alejado de $0$, vemos que el cociente $c_n^p/\Phi(p)^p$ está acotado en $p$ para cada $n$ fijo. Así que somos libres de elegir nuestros conjuntos $E_n$ tan pequeños en medida que $(c_n/\Phi(p))^pm(E_n)<2^{-n}$, independientemente de $p$. Para concluir, simplemente observamos que $$ \begin{align*} \frac{\|f\|_p^p}{\Phi(p)^p} &= \frac{1}{\Phi(p)^p}\int\sum_{n=1}^{\infty}c_n^p\chi_{E_n}\\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{c_n^p}{\Phi(p)^p}m(E_n)\\ &< \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}=1. \end{align*} $$ Esto significa que $\|f\|_p<\Phi(p)$ para todo $p$ (o, si lo prefieres, para todo $p\in[a,\infty)$, donde $\Phi(p)$ está alejado de $0$ en $[a,\infty)$).

Answer 2

Aquí hay una solución similar para el caso en el que queremos que la norma crezca arbitrariamente rápido. Como mencioné en mi comentario, debemos asumir que $\Phi$ obtiene un máximo finito en intervalos finitos (ya que la norma $p-$ésima es una función creciente en $p$).

Sea $$C_n = \max(2^n, \max_{p \in [n,n+1]} \Phi(p)).$$ Construimos una función $f$ tal que $C_n \leq \|f\|_n < \infty$ para todos los naturales $n$. La construcción es de la forma general $$ f = \sum_{n \geq 1} a_i \chi_{B_i}, \quad \mu(B_i) \triangleq \mu_i, \quad \sum_{i \geq 1} \mu_i < \infty. $$ Definimos $$ a_n = C_n^{n+1}, \mu_n = C_n^{-n^2}. $$ Dado que $C_n \geq 2^n$, la serie $\sum_{i \geq 1} \mu_i$ converge claramente.

Por un lado, para cada $n$ tenemos $$ \| f \|_n^n \geq a_n^n \mu_n = C_n^n. $$ Por otro lado, para cada $n$ tenemos $$ \| f \|_n^n = \sum_{i = 1}^n a_n^n \mu_n + \sum_{i \geq n+1} a_i^n \mu_i. $$ Para mostrar que la norma existe, es suficiente mostrar que la segunda serie converge: $$ \sum_{i \geq n+1} a_i^n \mu_i = \sum_{i \geq n+1} C_i^{n(i+1) - i^2} \leq \sum_{i \geq n+1} C_i^{-1} < \infty. $$ Usamos $C_i \geq 1$ y $n(i+1) - i^2 \leq -1$, lo cual se sigue de $n(n+2) - (n+1)^2 = -1$ y el hecho de que $n(i+1) - i^2$ es decreciente para $i \geq n/2$ (cálculo).