El título dice bastante. Elaborar un poco, conozco, por supuesto, el enorme papel de la geometría algebraica en teoría del número, pero no estoy tan seguro sobre geometría diferencial. Estaría muy interesado en oír de cualquier expertos en la materia.
¡Muchas gracias!
Creo que la manera en que uno utiliza la geometría diferencial en la teoría de los números no son tan visibles como algunas de las otras áreas NT utiliza, tales como álgebra abstracta, lo que hace que sea más difícil ver su utilidad. Me parece el uso de la mayoría de los sujetos en la aplicación de la Mentira de los grupos para el sujeto.
Por supuesto, hay casos degenerados: Minkowski teoría es una zona rica de la teoría de los números que utiliza la geometría ampliamente para estudiar soluciones a Diophantine problemas. Naturalmente, algunos de los cuerpos convexos de los involucrados puede (aunque en la práctica no son siempre demasiado malo) obtener algo complicado o desafiar a simples cálculos de volumen, que por supuesto es una cuestión clásica en la topología diferencial. Yo lo llamo "degenerado", debido a que es álgebra lineal, pero en la práctica algunos de los cuerpos convexos realmente requieren la topología, por lo que incluso parecía a propósito, dado que la pregunta es muy abierta.
Grigory Margulis es un genio que ha utilizado métodos de análisis en grupos como el especial lineales grupo de demostrar resultados en la formas cuadráticas. Él también ha demostrado resultados importantes en arithmeticity mediante el análisis de estos grupos de un topológicas y dinámicas punto de vista.
Técnicas en ergodic theory se utilizan en Diophantine aproximación regularmente. Clásico entre los resultados de la distribución uniforme de los puntos de $[n\alpha]$ en el intervalo de $[0,1]$ fib $\alpha$ es irracional. Horocycle flujo está relacionada íntimamente con la geometría hiperbólica de una manera que explícitamente se utiliza el diferencial de la estructura en el espacio y la métrica en la mitad superior del plano -.
La estructura en $SL_n(\Bbb R)$, especialmente se utiliza para establecer subgrupos que generar todo el grupo, que proviene de los hechos generales acerca de la Mentira de los grupos, establecidos mediante reglas de topología diferencial. La estructura de estos teoremas se utilizan más y más en las pruebas. Amir Mohammadi es un estudiante de la mencionada Margulis que está haciendo un excelente trabajo en esta área el uso de tales ideas.
Y, por supuesto, sería negligente de mi parte no mencionar la increíble nombre de ping-pong lema. Claramente juega la teoría de grupos y la geometría, el uno con el otro para demostrar los resultados sobre cada una utilizando la información de los otros.
Creo que si vas a esperar nada particularmente complejo, usted será decepcionado como es común en la mayoría de los de la cruz-los usos en las áreas, no es generalmente el filo en ambos campos de trabajo en los mismos problemas, pero lo cierto es que se presentan y son importantes.
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