Es fácil mostrar que $S_m=\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n + m}$ converge para cualquier natural $\ m$, pero ¿cuál es su valor?

Question

De hecho, la serie convergería incluso si $\ m$ no fuera natural, solo quería afirmar que en mi caso es natural. He encontrado la fórmula de la suma parcial de $\ S_0$, $\displaystyle \sum_{n=1}^k \frac{n}{2^n} =\frac{2^{k+1}-k-2}{2^k}$, obteniendo fácilmente $\ S_0=2$. Luego, dado que $\displaystyle \frac{1}{2^n+m}=\frac{1}{2^n}-\frac{m}{2^n\left(2^n+m\right)}$, sé que $\displaystyle S_m= 2-\sum_{n=1}^\infty \frac{mn}{2^n\left(2^n+m\right)}$, aunque no estoy seguro de que sea un camino conveniente para estudiar la última serie.

Answer 1

Creo que tu observación ayuda si la iteras más.

$$ \begin{align} S_m&=2-m\sum_{n=0}^\infty\frac{n}{2^n(2^n+m)}\\ &=2-m\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{2^n}\left(\frac{1}{2^n}-\frac{m}{2^n(2^n+m)}\right)\\ &=2-m\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{4^n}+m^2\sum_{n=0}^\infty\frac{n}{4^n(2^n+m)}\\ &=2-\frac49m+m^2\sum_{n=0}^\infty\frac{n}{4^n(2^n+m)}\\ \end{align}$$

Repite de esta manera, y dejando a un lado algunas cuestiones de convergencia, podemos escribir una serie de potencias en $m$: $$S_m=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2^{n+1}}{(2^{n+1}-1)^2}m^n$$ No estoy seguro de a dónde ir a partir de aquí, pero ahora tienes una serie de potencias alternante. Debido a que es alternante, puede ser más rápido usarla para obtener aproximaciones decimales.

EDICIÓN

¡No! Esta serie de potencias no converge para $m\geq2$. Sin embargo, con $m=2$, sus sumas parciales oscilan entre dos valores, cuyo promedio parece ser $S_2$, así que eso es interesante.

Como serie de potencias, esto converge para $m\in(-2,2)$. Podrías al menos usar esto para estudiar $S_m$ para $m$ mayormente no entero en $(-2,2)$.

Examiné un gráfico de la serie de potencias en $(-2,2)$, y se parecía a funciones de la forma $\frac{2\cdot2^r}{(m+2)^r}$. Experimentando, usando un $r$ en el entorno de $0.455$ da $\frac{2\cdot2^r}{(m+2)^r}$ que coincide bastante bien con la serie de potencias, y parece dar una aproximación decente para $S_m$. Así que quizás puedas encontrar de manera más rigurosa un $r\approx0.455$ tal que $S_m$ sea asintóticamente proporcional a $\frac{1}{(m+2)^r}$.