Varias veces tirar bolas en compartimientos

Question

$n$ bolas al azar se arrojó en $m$ papeleras, cada cajón puede contener $k$ bolas. Si una pelota es lanzada dentro de un contenedor lleno (ya ha $k$ bolas en ella), puede ser arrojado de forma aleatoria y repetida en el $m$ papeleras de nuevo hasta que una vacía o parcialmente cargado de reciclaje se cumple. La pregunta es que ¿cuál es la expectativa de que el sorteo de los tiempos para el $n$ bolas, y lo que es la distribución del número de bolas en el $m$ contenedores ($n \leq mk$). Para la primera pregunta, una versión simplificada puede ser: cuando ya hay $n$ bolas acumuladas en el $m$ contenedores de acuerdo a lo anterior tirar la regla, ¿cuál es el promedio de los tiempos para tirar otra bola lanzada dentro de los contenedores (podríamos discutir el caso en este estado estable más bien que el proceso de compilación).

Sé que sin la re-lanzar el proceso, el número de pelotas en los contenedores debe seguir la distribución binomial; sin embargo, cuando la vuelva a tirar, se añade, se vuelve a ser bastante diferentes.

Answer 1

Si usted sabe sobre el paseo aleatorio, me gustaría formalizar esta de la siguiente manera :

Deje $X_N$ ser discretos en el tiempo de proceso en el espacio de estado $(\mathbb N \cup \{0\})^{m}$. Dejamos $X_0 = (0,0,\dots,0)$, y decimos que $$ e_i = (0,\dots,1,\dots, 0), \quad \mathbb P(X_{N+1} = X_N + e_i) = 1/m. $$ Para agregar una pelota en un bin y el modelo asume que los contenedores pueden almacenar infinidad de pelotas. Ahora usted está interesado en algunos eventos, por lo que es necesario definir adecuadamente en términos de variables aleatorias se puede estudiar. Escribir $$ X_N = (X_{N,1},\dots, X_{N,m}) $$ y considerar $$ T_{N,i} = \min \{ X_{N,i}, k \}, $$ así que $$ T_N = (T_{N,1}, \dots, T_{N,m}) $$ iba a representar lo que está realmente en las bandejas. Si $$ \tau_n = \inf \left \{ N \in \mathbb N \, \left| \, \sum_{i=1}^m T_{N,i} \ge n \right. \right \}, $$ a continuación, utilizando la teoría de los procesos estocásticos se puede demostrar que esto define un tiempo de paro (que se necesita para definir las filtraciones y todo, pero que va a funcionar muy bien). Esto era demasiado grande para un comentario, porque yo en realidad no se los detalles, pero tener una configuración formal siempre da un buen comienzo. Tenga en cuenta que lo que quieres buscar sería :

Para el esperado lanzamiento de la $n$ bolas, desea $\mathbb E[\tau_n]$ ;

Para la distribución de $X_N$, así que usted puede fácilmente calcular utilizando este modelo.

Espero que esta configuración le ayudará a empezar.