Es la imagen de un lugar denso cerrado subconjunto de $[0,1]$ virtud de un mapa diferenciable todavía ninguna densa?

Question

Deje que $f:[0,1]\[0,1]$ ser una función continua tal que su derivada $f'$ existe $(0,1)$. Mi pregunta es:

Q1. Si $E\subconjunto[0,1]$ es un lugar denso subconjunto cerrado, es de $f(E)$ también denso en ninguna parte en $[0,1]$?

Si la respuesta es negativa, ¿qué pasará cuando nos adicionalmente suponga que $f'\ge 0$ en $(0,1)$?

Mi pregunta se origina de la pregunta:

Q2. Si $g:[0,1]\[0,1]$ es el Cantor de la función, podemos encontrar homeomorphisms $\varphi$ y $\psi$ tanto desde $[0,1]$ a sí mismo, que $\psi\circ g\circ \varphi$ es differntiable en $(0,1)$?

Si Q1 con la suposición adicional de $f'\ge 0$ tiene una respuesta positiva, entonces es evidente que se da una respuesta negativa a la segunda pregunta, porque para cualquier $\varphi$ y $\psi$, $f=\psi\circ g\circ \varphi$ mapas de un lugar denso conjunto cerrado en $[0,1]$. De lo contrario, todavía estoy interesada en saber si $\varphi$ y $\psi$ existir o no. Q2 proviene de un intento de proporcionar un sencillo contra-ejemplo a esta pregunta para el caso de que $X=Y=(0,1)$.

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Actualización:

1. Gracias a Henno Brandsma el comentario de abajo, me di cuenta de que para agregar un comentario que T1 tiene una respuesta positiva cuando $f$ es (a trozos) $C^1$.

2. Gracias a la discusión con Jim Belk, me di cuenta de que mi argumento original en Q1 , bajo el supuesto de que $f$ es $C^1$ era incorrecta. La siguiente es una corrección de un argumento.

   Indicar la medida de Lebesgue en $[0,1]$ en $|\cdot|$ y denotan $C=\{x\in[0,1]:f'(x)=0\}$. Tenga en cuenta que $C$ es un cerrado. Utilizando el hecho de que para cada subconjunto cerrado $K$ de $[0,1]$, $$|f(K)|\le\int_K|f'(x)|dx,$$ o de lo contrario, sabemos que $f(C)$ es cerrado y $|f(C)|=0$, entonces $f(C)$ y por tanto $f(C\cap E)$, está cerrado y denso en ninguna parte. Tenga en cuenta que $[0,1]\setminus C$ es un discontinuo de la unión de la mayoría de los countably muchos intervalos, por ejemplo, de $[0,1]\setminus C=\sqcup_n I_n$. Tenga en cuenta que $f|_{\overline{I_n}}$ es homeomórficos, por lo que $f(\overline{I_n}\cap E)$ es cerrado y denso en ninguna parte. Entonces por categoría de Baire teorema de la, $$f(E)=f(C\cap E)\cup\big(\cup_n f(\overline{I_n}\cap E)\big)$$ es denso en ninguna parte.

3. Por otra parte, he quitado otra pregunta similar a la Q1 en este post, y comenzó un nuevo post .

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Cualquier sugerencia o sugerencia se agradece. Gracias de antemano.

Answer 1

La respuesta a la pregunta Q1 es no. La respuesta a la pregunta Q2 es sí, a pesar de que hace no se si reemplazamos "diferenciable" con "continuamente diferenciable".

La clave de referencia es la siguiente:

Dovgoshey, O., et al. "El Cantor de la función." La Expo. De matemáticas. 24 (2006). 1-37

El siguiente teorema aparece en la pág. 25 del documento (Propuesta 7.5):

Teorema 1. Deje que $g\colon[0,1]\[0,1]$ ser el Cantor de la función. Entonces existe un homeomorphism $\varphi\colon[0,1]\[0,1] de dólares para que $g\circ\varphi$ es diferenciable en todas partes, con uniformemente acotada derivados.

Inmediatamente después de esta (por la Proposición 7.6), está demostrado que:

Teorema 2. Deje que $g\colon[0,1]\[0,1]$ ser el Cantor de la función. Entonces no existen homeomorphisms $\varphi,\psi\colon[0,1]\[0,1] de dólares para que $\psi\circ g\circ\varphi$ es continuamente diferenciable.

Esta se asienta la pregunta Q2. También, se sigue por el Teorema 1 que la respuesta a la pregunta Q1 es no. En particular, si $C$ es el conjunto de Cantor, entonces $C$ es nada denso, por lo que $\varphi^{-1}(C)$ es denso en ninguna parte así. Pero la imagen de $\varphi^{-1}(C)$ virtud de la función derivable $g\circ\varphi$ es igual a $g(C)$, que es el de toda la unidad de intervalo $[0,1]$.

Por supuesto, esto no abordar la cuestión de si la imagen de un lugar denso conjunto bajo continuamente una función derivable es siempre denso en ninguna parte. El post enlazado por Henno no es del todo convincente, en parte porque no puedo seguir la prueba, pero sobre todo porque el autor parece retractarse de la prueba posteriormente en el hilo:

• Post Original (vinculado a través de Henno)

• Respuesta pidiendo una simple prueba

• Intento de realizar una simple prueba, por el mismo autor, en la que el autor reconoce un error en la primera prueba.

• El post final, en la que el autor parece admitir un error en la segunda prueba así, y afirma que un contraejemplo existe. (Esta es mi interpretación, pero el post es muy claro.)

Aunque no es del todo claro, la conclusión al final del hilo parece ser que la respuesta a Q1 hay incluso en el $C^1$ caso. (Edit: Como el Paisaje y George Lowther señalar, en efecto, hay un simple argumento de que la respuesta a Q1 es sí para $C^1$ funciones.)

Tenga en cuenta que esta respuesta no entre en conflicto con este post, que dice que la imagen de un conjunto de medida cero en virtud de una función derivable tiene medida cero. Suponiendo que el post es correcto, la inversa de la imagen $\varphi^{-1}(C)$ de el conjunto de Cantor bajo el homeomorphism $\varphi$ debe tener positivo de la medida de Lebesgue. Este supuesto es posible para un lugar denso conjunto, por ejemplo, la grasa conjunto de Cantor.