Error de la integral indefinida en Gradshtein: raíz cuadrada recíproca del polinomio de sexto grado

Question

La integral indefinida que aparece a continuación, citada de la obra de Gradshtein _Tabla de integrales, series y productos_ , 7ª ed. (parte inferior de la p.104) parece contener al menos dos erratas (resaltadas en morado).

$\mathbf{2.291.4}$ $$\begin{align} &\int\frac{dx}{\sqrt{a+bx+cx^2+dx^3+cx^4+bx^5+ax^6}}\\ &~~=-\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{\color{purple}{dx}}{\sqrt{(z+1)p}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{dz}{\sqrt{(z-1)p}},\left[x=z+\sqrt{z^2-1}\right]\\ &~~=-\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{\color{purple}{d}}{\sqrt{(z+1)p}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{dz}{\sqrt{(z-1)p}},\left[x=z-\sqrt{z^2-1}\right] \end{align}$$ donde $p=2a(4z^3-3z)+2b(2z^2-1)+2cz+d$ . $~~~\square$

La segunda errata es obviamente tipográfica, pero la primera es sustancial si estoy en lo cierto. Creo que en ambos casos las partes resaltadas deberían decir " $dz$ ". Intenté confirmar la errata derivando la fórmula correcta de primera mano, pero rápidamente me encontré con dificultades y decidí que necesitaba ayuda.

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Editar

Ahora me siento seguro al suponer que las dos partes resaltadas deberían decir $dz$ . Mi agradecimiento a mike por proporcionar algunas observaciones perspicaces que eliminaron casi cualquier duda que tenía al respecto. Dicho esto, me gustaría mucho ver una derivación completa antes de abandonar esta cuestión, sobre todo ahora que parece estar casi al alcance. En este momento, mi principal interés no es demostrar que esta integral es correcta, sino descubrir técnicas que puedan generalizarse o reutilizarse para integrales similares en el futuro.

Y una última petición. Si alguien conoce alguna buena referencia sobre integrales pseudoelípticas, le agradecería mucho que me la indicara. Saludos.

Answer 1

Esto es lo que obtuve para verificar el problema.

Definir $$Q(x)=a+bx+cx^2+dx^3+cx^4+bx^5+ax^6\tag{0}$$

Sustitución de $$x=z-\sqrt{z^2-1}\tag{1}$$

en $x^3 Q(x)$ conduce a:

$$x^3 Q(x)=p(z) \tag{2}$$ $$p= 2a( 4z^3-3z)+2b(2z^2-1) + 2cz +d\tag{3}$$

De (2.291.4.2) tenemos: $$\int\frac{dx}{\sqrt{Q(x)}} =-\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{dz}{\sqrt{(z+1)p}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{dz}{\sqrt{(z-1)p}}\tag{4}$$

Utilizando (3), sabemos que tenemos que demostrar:

$$\sqrt{x^3}dx =-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{dz}{\sqrt{z+1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{dz}{\sqrt{z-1}}\tag{5}$$

o

$$\sqrt{x^3}dx =-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{d(z+1)}{\sqrt{z+1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{d(z-1)}{\sqrt{z-1}}\tag{6}$$

continuará...

Answer 2

Por comodidad, tomo prestada la notación de Mike y la defino,

$$Q(x):=a+bx+cx^2+dx^3+cx^4+bx^5+ax^6.$$

Como se indica en el enunciado del problema anterior, también defino,

$$p(z):=p=2a(4z^3-3z)+2b(2z^2-1)+2cz+d.$$

He tenido bastantes problemas al intentar transformar la integral sobre $x$ en la integral deseada sobre $z$ a través de las sustituciones $x=z\pm\sqrt{z^2-1}$ es decir, tratando de demostrar directamente que:

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{Q(x)}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{(z+1)\,p(z)}}\mp\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{(z-1)\,p(z)}};~\left[x=z\pm\sqrt{z^2-1}\right].$$

Como explicó Mike en su respuesta, el paso clave es demostrar que

$$\sqrt{x^3}dx =-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{dz}{\sqrt{z+1}}\mp\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{dz}{\sqrt{z-1}},$$

pero a pesar de todos mis esfuerzos no he podido demostrar la relación anterior.

Se sugirió en un comentario (ahora eliminado) que trabajáramos hacia atrás y en su lugar transformáramos la integral sobre $z$ en la integral sobre $x$ . Sorprendentemente (al menos para mí), la transformación resulta mucho más clara a la inversa. La relación inversa para las fórmulas de sustitución

$$x=\varphi_{\pm}{(z)}=z\pm\sqrt{z^2-1}$$

es,

$$z=\varphi_{\pm}^{-1}{(x)}=\frac{x^2+1}{2x}.$$

Obsérvese que el dominio de ambas funciones $\varphi_{\pm}{(z)}$ es $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$ mientras que el rango de $\varphi_{+}{(z)}$ es $[-1,0)\cup[1,+\infty)$ mientras que el rango de $\varphi_{-}{(z)}$ es $(-\infty,-1]\cup(0,1]$ .

El diferencial $\mathrm{d}z$ se transforma bajo la sustitución $z=\frac{x^2+1}{2x}=\frac12\left(x+\frac{1}{x}\right)$ a:

$$\mathrm{d}z=\frac{x^2-1}{2x^2}\,\mathrm{d}x.$$

También tenemos:

$$\begin{align} p(z) &=2a(4z^3-3z)+2b(2z^2-1)+2cz+d\\ &=a\frac{x^6+1}{x^3}+b\frac{x^4+1}{x^2}+c\frac{x^2+1}{x}+d\\ &=\frac{Q(x)}{x^3};\\ \end{align}$$

$$z+1=\frac{(x+1)^2}{2x};$$

$$z-1=\frac{(x-1)^2}{2x}.$$

Y así, las integrales sobre $z$ transformarse en:

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{(z\pm1)\,p(z)}} &=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{\left(\frac{x^2-1}{2x^2}\right)\,\mathrm{d}x}{\sqrt{\frac{(x\pm1)^2}{2x}\cdot\frac{Q(x)}{x^3}}}\\ &=\frac12\int\frac{\left(x^2-1\right)\,\mathrm{d}x}{\left|x\pm1\right|\sqrt{Q(x)}}\\ &=\frac12\int\operatorname{sgn}{\left(x\pm1\right)}\frac{\left(x\mp1\right)\,\mathrm{d}x}{\sqrt{Q(x)}}\\ \end{align}$$

Las integrales anteriores probablemente arrojen algo de luz sobre lo que estaba causando la dificultad de antemano. Debido a la $\text{sgn}$ -factores de la función, la única manera de reducir la suma/diferencias de las integrales a la forma deseada $\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{Q(x)}}$ es restringiendo la variable $x$ a un intervalo adecuado. Podemos comprobarlo fácilmente,

$$ 1= \begin{cases} \frac12(x-1)\operatorname{sgn}{\left(x+1\right)}-\frac12(x+1)\operatorname{sgn}{\left(x-1\right)};x<-1\\ -\frac12(x-1)\operatorname{sgn}{\left(x+1\right)}-\frac12(x+1)\operatorname{sgn}{\left(x-1\right)};-1<x<1\\ -\frac12(x-1)\operatorname{sgn}{\left(x+1\right)}+\frac12(x+1)\operatorname{sgn}{\left(x-1\right)};~~x>1.\\ \end{cases}$$

Por ello, puede resultar más claro considerar las integrales definidas en lugar de las indefinidas.

Supongamos un intervalo de integración de $[x_1,x_2]\subseteq(0,1]\subseteq\text{range }{\varphi_{-}}$ . Entonces,

$$\begin{align} \int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{Q(x)}} &=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{\left[-\frac12(x-1)\operatorname{sgn}{\left(x+1\right)}-\frac12(x+1)\operatorname{sgn}{\left(x-1\right)}\right]\,\mathrm{d}x}{\sqrt{Q(x)}}\\ &=-\frac12\int_{x_{1}}^{x_{2}}\operatorname{sgn}{\left(x+1\right)}\frac{\left(x-1\right)\,\mathrm{d}x}{\sqrt{Q(x)}}-\frac12\int_{x_{1}}^{x_{2}}\operatorname{sgn}{\left(x-1\right)}\frac{\left(x+1\right)\,\mathrm{d}x}{\sqrt{Q(x)}}\\ &=-\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\varphi_{-}^{-1}{(x_{1})}}^{\varphi_{-}^{-1}{(x_{2})}}\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{(z+1)\,p(z)}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\varphi_{-}^{-1}{(x_{1})}}^{\varphi_{-}^{-1}{(x_{2})}}\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{(z-1)\,p(z)}},\\ \end{align}$$

que es la fórmula esperada. También llegaríamos a la fórmula (corregida) dada en Gradshteyn si el intervalo de integración hubiera sido $[x_1,x_2]\subseteq[1,\infty)\subseteq\text{range }{\varphi_{+}}$ . Sin embargo, parece que las fórmulas de Gradshteyn fallan por errores de signo cuando $x<0$ . Creo que esta condición que falta en el enunciado de la proposición del texto explica mi problema inicial con la derivación hacia adelante.