¿Se deslizará una bola por una colina llena de grumos por el mismo camino por el que rueda por la colina?

Question

Supongamos que tengo una colina abultada. En un primer experimento, la colina no tiene fricción y dejo que una bola se deslice hacia abajo, empezando por el descanso. Observo el camino que toma (el sendero independiente del tiempo que sigue).

En el siguiente experimento, la colina se mantiene con la misma forma, pero la bola ahora rueda sin deslizarse por la colina. Supongamos que no hay deformación de la bola o de la colina, ni microdeslizamiento de la superficie de contacto, ni otras formas de resistencia al rodaje . La energía se conserva. Libero la bola del descanso en el mismo punto de la colina. Rastreo el camino que toma la bola rodante.

¿La bola rodante sigue el mismo camino que la bola deslizante, pero más lentamente, o a veces sigue un camino diferente?

Nota: Puede que haya algunas respuestas "trucadas". Por ejemplo, si la colina se curva significativamente en escalas similares al radio de la bola, la bola podría "encajarse" en algún lugar, o dos partes de la bola podrían contactar con la colina al mismo tiempo. Supongamos que geométricamente, la forma de la colina es tal que sólo es posible que la bola contacte con la colina en un punto, y que la bola siempre contacta con la colina en un único punto (es decir, nunca se aleja).

Answer 1

• Si la trayectoria original, vista desde arriba, es recta, entonces la fricción no la curvará porque siempre es paralela y opuesta a la velocidad, y la velocidad siempre es paralela a la trayectoria. La única diferencia es que la pelota tendrá menos energía y no recorrerá la misma distancia. Tarde o temprano se detendrá debido a la fricción.

• Si la trayectoria original, vista desde arriba, es curva, entonces la trayectoria cambiará porque en una curva la velocidad y la trayectoria no son paralelas. Si necesitas un ejemplo, piensa en una pelota que gira alrededor de un cuenco. Sin rozamiento, la pelota se mantendrá en una "órbita" estable alrededor del cuenco. Con rozamiento, bajará en espiral hasta que se detenga.

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Editado debido a una posible interpretación diferente de la pregunta.

Si el único efecto de la fricción es hacer rodar la pelota. La pelota adquirirá un momento de inercia que se opondrá a cualquier cambio de dirección. Si la trayectoria era inicialmente recta, nada debería cambiar. Si la trayectoria fuera curva, seguiría una diferente.

Answer 2

Una bola que rueda colina abajo irá más despacio que una bola que se desliza colina abajo, debido a su momento angular. Por tanto, si rueda colina abajo y entra en una curva peraltada, tomará la curva más abajo en la orilla, y por tanto tendrá una trayectoria diferente.

EDIT: como muestran las otras respuestas, esto es de hecho incorrecto, por la razón que sugerí en mi comentario.

Answer 3

En una dimensión, la respuesta es que la trayectoria debe ser la misma, ya que lo único que podría salir mal es que la bola que rueda no llegue a superar una colina que la bola que se desliza sí (o viceversa). Sin embargo, esto nunca ocurrirá debido a la conservación de la energía.

Intenté durante un tiempo poner el caso general en la dinámica lagrangiana (allí la cuestión se formula como si las proyecciones de $\vec{q}(t)$ será el mismo, dados dos Lagrangianos diferentes) pero entonces recordé que una bola rodando sin resbalar es un sistema no holonómico lo que hace que el problema no sea integrable, y me rendí. Tal vez me detuve demasiado pronto.

Sospecho que hay una solución inteligente al problema; mi intuición es que el término de energía potencial depende sólo de la posición y esto implica que las trayectorias también serán independientes de la velocidad de la pelota. Pensaré un poco más en esto.

Answer 4

Solución lagrangiana: Utilizar coordenadas cartesianas (x,y) y dejar que la altura de la colina defina el potencial. Cada punto (x,y) da una posición única de la bola que, por lo tanto, determina de forma única su potencial (que no es, en general, igual a la altura, ya que la bola puede inclinarse en varios ángulos, pero este es un detalle que no altera las matemáticas aquí). Por lo tanto, la parte potencial del lagrangiano puede escribirse como V(x,y).

Tras el útil y obvio comentario de Mark Eichenlaub de que $\omega = Rv$ y observando que la energía cinética depende sólo de los cuadrados de la velocidad y del momento angular, y calculando que $\vec{v} = (\dot{x},\dot{y},h_x\dot{x}+h_y\dot{y})$ donde $h_x,h_y$ son las pendientes de la colina en las direcciones x e y, la energía cinética puede escribirse en la forma
$T(x,y,\dot{x},\dot{y}) = \alpha(\dot{x}^2A+\dot{y}^2B+\dot{x}\dot{y}C)$
donde $A,B,C$ dependen sólo de la pendiente en una posición determinada, y $\alpha$ depende del momento de inercia y es diferente entre la bola que rueda y la que se desliza. (Es decir, la bola que se desliza tiene la misma energía que una bola que rueda con momento de inercia cero). Obsérvese, según Qmechainc que $A,B,C$ dependen de la posición a través de la pendiente. Por supuesto, la energía potencial sólo depende de la posición.

Las ecuaciones de movimiento son:
$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}} = \frac{\partial (T+V)}{\partial x}$
y de forma similar para y.

Dejemos que $t\to t/\sqrt{\alpha}$ . Esto hace que $dt\to dt/\sqrt{\alpha}$ y $\partial \dot{x} \to \sqrt{\alpha} \partial \dot{x}$ . Así que el operador que actúa sobre T no se ve afectado por esta transformación:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial\dot{x}} \to \frac{d}{dt}\frac{\partial }{ \partial\dot{x}}$ ,

y como T es sólo cuadrática en las velocidades se transforma como el cuadrado de las velocidades, es decir $\dot{x}^2 \to \dot{x}^2/\alpha$ :
$T\to T/\alpha$
Esto elimina $\alpha$ de las ecuaciones del movimiento.

Por cierto, un argumento similar muestra que la respuesta a la pregunta:

"¿Depende la trayectoria de una pelota que se desliza por una colina de la magnitud de la fuerza de gravedad?"

también es no, que es una forma más intuitiva de entender la respuesta.

Answer 5

Creo que la respuesta es que sí, siguen el mismo camino. Trataré de mostrar esto haciendo algo de cinemática, y luego simplemente calculando las aceleraciones. Me vendría bien que alguien lo revisara cuidadosamente. He tenido que usar algo de heurística en un par de lugares porque mi vocabulario para discutir este problema es limitado. No veo defectos fundamentales en la física, pero por favor, señálelos (así como los errores tipográficos) si los ve.

• $m$ = masa de la bola
• $I$ = momento de inercia de la bola
• $R$ = radio de la bola
• $ \vec {R}$ = vector que apunta desde el centro de la bola hasta el punto de contacto con la colina
• $ \vec {g}$ = aceleración debida a la gravedad
• $ \vec {g}_h$ = aceleración debida a la gravedad proyectada en el plano de la colina
• $ \vec { \omega }$ = velocidad angular de la bola
• $ \vec {v}$ = velocidad de la bola
• $ \vec { \tau }$ = par de torsión en la bola
• $ \vec {f}$ = fuerza de fricción ejercida sobre la bola por la colina
• $ \vec {a}$ = aceleración de la bola
• $ \vec {a}_h$ = aceleración de la bola proyectada en el plano de la colina
• El subíndice "r" de lo anterior se refiere a la bola rodante
• El subíndice "s" se refiere a la bola deslizante

La energía se conserva en ambos casos, por lo que las dos bolas deben tener la misma energía cinética al pasar por un punto determinado. La energía cinética de la bola deslizante es $1/2 mv_s^2$ y la energía cinética de la bola rodante es $1/2(mv_r^2 + I \omega ^2)$ . Usando $| \omega | = |v|/R$ algunos rendimientos de álgebra $(v_s/v_r)^2 = 1+I/mR^2$ . Esto nos dice que si la bola rodante sigue el mismo camino que la bola deslizante, lo hace haciendo todo más lento por esta cantidad establecida. Dejemos que $v_r/v_s = c$ .

Queremos saber si las bolas se mueven en el mismo camino. Lo harán si siempre apuntan en la misma dirección cuando llegan al mismo lugar. Si permitimos que sus velocidades sean funciones de posición, siguen el mismo camino si $ \vec {v_r}( \vec {x}) = c \vec {v_s}( \vec {x})$ . Sabemos que esto se mantendrá para las magnitudes de las velocidades, por lo que esta ecuación expresa la condición de que las direcciones de las velocidades sean las mismas.

Introduzcamos un parámetro $ \lambda_r $ , $ \lambda_s $ a lo largo de los caminos de las bolas. Si siguen el mismo camino, el $ \lambda $ pueden ser idénticas. Haga $ \lambda $ igual a la distancia que la bola viaja. Diferenciando ambos lados de la condición anterior con respecto a $ \lambda $ y la aplicación de la regla de la cadena da $d \vec {v_r}/dt*dt/d \lambda = c d \vec {v_s}/dt*dt/d \lambda $ . Estas expresiones son aceleraciones y velocidades, y por lo tanto esto puede ser reescrito $ \vec {a_r}/|v_r| = c \vec {a_s}/|v_s|$ . La definición de $c$ nos permite escribir esto como $ \vec {a_r} = c^2 \vec {a_s}$ o $ \vec {a_s} = (1 + I/mR^2) \vec {a_r}$ . Mientras esta condición se mantenga, la suposición de que el $ \lambda $ se justifica, las velocidades de las bolas cambiarán de la misma forma en que se mueven a través del espacio, y los caminos serán los mismos.

Primero veremos el componente de aceleración normal de la colina. Imaginemos que en algún punto de la colina ambas bolas se mueven en la misma dirección. Luego tomamos un círculo que es tangente al camino que las bolas están siguiendo justo en ese punto, como un bucle que sale de la colina. La aceleración de las bolas al seguir su camino en este punto es sólo su aceleración centrípeta que rodea este círculo, y eso es $v^2/r$ . Dado que la relación de las velocidades es $c$ la proporción de las aceleraciones centrípetas es $c^2$ que es exactamente la relación especificada en la condición que deben satisfacer las aceleraciones. Esto significa que las proyecciones de las aceleraciones normales de la colina "funcionan" en términos de las bolas que siguen el mismo camino.

A continuación, necesitamos la aceleración de la bola deslizante proyectada en la colina, $ \vec {a_{sh}}$ . Sólo hay una fuerza que tiene algún componente en la colina, y es la gravedad. Así que tenemos $ \vec {a_{sh}} = \vec {g_h}$ .

La bola rodante tiene dos fuerzas que contribuyen en el plano de la colina - la gravedad y la fricción. Esto da $ \vec {a_{rh}} = \vec {g_h} + \vec {f}/m$ .

Para encontrar $ \vec {f}$ haremos dos requisitos. Uno es lo que está arriba - que $ \vec {f}$ es lo que se necesita añadir a la gravedad para hacer la aceleración. Otra es que $ \vec {f}$ contribuye con un torque sobre el centro de masa de la bola. Este torque puede ser determinado cinemáticamente, sin embargo, usando sólo el conocimiento de $ \vec {a}$ . Sólo habrá una fuerza de fricción capaz de satisfacer ambas condiciones.

El par debido a la fricción es $ \vec { \tau } = \vec {R} \times\vec {f} = I d \vec { \omega }/dt$ . Para encontrar otra expresión que implique $d \vec { \omega }/dt$ noten que la parte inferior de la bola se está moviendo hacia atrás en relación al centro de la masa, así que $ \vec { \omega } \times \vec {R} = - \vec {v_r}$ . Diferenciarse con respecto al tiempo. $d \vec {R}/dt \times\vec { \omega } + \vec {R} \times d \vec { \omega }/dt = \vec {a_r}$ . Conectando para $d \vec { \omega }/dt$ da $d \vec {R}/dt \times\vec { \omega } + \vec {R} \times (1/I* \vec {R} \times \vec {f}) = \vec {a_r}$ . Sólo estamos interesados en el componente de $ \vec {a_r}$ en el plano de la colina. El término $d \vec {R}/dt \times\vec { \omega }$ es normal para la colina porque los dos vectores que se cruzan están en el plano de la colina. El término $ \vec {R} \times (1/I * \vec {R} \times \vec {f})$ está completamente en el plano de la colina porque es perpendicular a $ \vec {R}$ . Una identidad vectorial nos permite simplificar esto a $1/I( \vec {R}( \vec {R} \cdot\vec {f}) - \vec {f}( \vec {R} \cdot\vec {R})) = \vec {a_{rh}}$ . Usa eso. $ \vec {R} \cdot \vec {f} = 0$ porque son perpendiculares, así que $ \vec {f} R^2/I = \vec {a_{rh}}$ .

Tenemos dos expresiones para $ \vec {a_{rh}}$ así que los equipara. $ \vec {f}R^2/I = \vec {g_h} + \vec {f}/m$ . Esto da $ \vec {f} = - \vec {g_h}+mI/(R^2m+I)$ . Conectando esto de nuevo a la ecuación para la aceleración da $ \vec {a_{rh}} = \vec {g_h}(1 - I/(R^2m+I))$ . Comparando con la bola deslizante, $ \vec {a_{sh}} = (1 + I/mR^2) \vec {a_{rh}}$ . Esta es la condición de las aceleraciones que queríamos demostrar.