Dura desigualdad en números positivos reales.

Question

Sea $a, b, c$ números reales positivos. Demuestra que

$$\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\geq\left(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\right)$$

Gracias

Answer 1

Esta desigualdad parece ser de alguna manera demasiado débil, así que demostraré la desigualdad mucho más fuerte:

$$\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\geq 2\left(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\right)$$

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$$1 + \frac ab + \frac ac \ge 3\sqrt[3]\frac{a^2}{bc} = \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$$ $$1 + \frac ba + \frac bc \ge 3\sqrt[3]\frac{b^2}{ac} = \frac{3b}{\sqrt[3]{abc}}$$ $$1 + \frac ca + \frac cb \ge 3\sqrt[3]\frac{c^2}{ab} = \frac{3c}{\sqrt[3]{abc}}$$

Sumando todas las desigualdades y tenemos:

$$3 + \frac ac + \frac ab + \frac ba + \frac bc + \frac ca + \frac cb \ge 3\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$$

$$1 + \frac ac + \frac ab + \frac ba + \frac bc + \frac ca + \frac cb + 1 \ge 2\left(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\right) + \left(\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} - 3\right)$$

El último término es obviamente positivo, ya que $a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}$ por AM-GM, por lo tanto, la demostración.

Hay igualdad cuando $a=b=c$

Answer 2

Si la ecuación es esta

$$ (1 + \frac{a}{b})(1 + \frac{b}{c})(1 + \frac{c}{a}) \geq 2(1 + \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}) $$

Podemos reescribir la ecuación:

$$ \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} \geq \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}} $$

escribiendo

$$ \frac{a+b}{c} = \frac{a+b+c}{c} -1 $$

$$ \frac{b+c}{a} = \frac{a+b+c}{a} -1 $$

$$ \frac{c+a}{b} = \frac{a+b+c}{b} -1 $$

La desigualdad se puede escribir como:

$$ (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) -3 \geq \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}} $$

Luego por AG

$$ (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}} = \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}} + \frac{(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}} \geq \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}} +3 $$.

Answer 3

La desigualdad no cambia si se multiplican $a$, $b$ y $c$ por un número positivo $k$, así que sin pérdida de generalidad, $abc=1$. Entonces la mano izquierda es mayor o igual a

$$1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$$

y $$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge a + b + c$$

ya que

\begin{align}&\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\\ &= \frac{1}{3}\left(\frac{a}{b} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c}\right) + \frac{1}{3}\left(\frac{b}{c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\right) + \frac{1}{3}\left(\frac{c}{a} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b}\right)\\ &\ge\sqrt[3]{\frac{a}{b}\frac{a}{b}\frac{b}{c}} + \sqrt[3]{\frac{b}{c}\frac{b}{c}\frac{c}{a}} + \sqrt[3]{\frac{c}{a}\frac{c}{a}\frac{a}{b}}\\ &= \frac{a}{\sqrt[3]{abc}} + \frac{b}{\sqrt[3]{abc}} + \frac{c}{\sqrt[3]{abc}}\\ &= a + b + c. \end{align}