¿Es el "Teorema del rango constante" lo mismo que el "Teorema del enderezamiento del dominio"? ¿Qué teorema es cuál?

Question

Wikipedia dice que el teorema de la función inversa es un caso especial del " teorema del rango constante ".

Estoy bastante seguro de que se supone que es el mismo teorema que el "Teorema del rango" de la p. 47 de Boothby (sobre todo porque el artículo de la wikipedia también hace una nota a pie de página a Boothby...), y luego en Boothby dice en una nota a pie de página que también se conoce como el "Teorema del enderezamiento."

Wikipedia también tiene un artículo sobre un " Teorema del enderezamiento del dominio ".

Lo que parece vagamente relacionado pero no discute explícitamente nada sobre el rango.

¿Podría alguien ayudarme a dilucidar cuál es cada teorema? Mi objetivo principal es encontrar una discusión más profunda del "Teorema de Rango Constante" (o cualquiera que sea el verdadero caso general del IFT) (¡se aceptan sugerencias de lectura!), pero también me gustaría saber cuál de estos nombres se refiere al mismo teorema, y cuál no.

Answer 1

Creo que ambos son teoremas estándar en colectores diferenciales, y de hecho se dan sin el nombre que se les da ahora. Por ejemplo, en otros libros se hacía referencia al teorema del rango constante como la forma normal de un mapa de inmersión/sumersión.

Como ya han dicho otros, los dos teoremas son diferentes y ambos se pueden demostrar utilizando con cuidado el teorema de la función inversa. El primero dice que localmente un mapa diferenciable entre dos variedades cerca de un punto regular puede verse como un mapa lineal en coordenadas locales apropiadas. El segundo dice que localmente un campo vectorial en un punto regular puede verse como dado por el campo vectorial de coordenadas $\{ \partial_{x_i}\}$ donde $x_{i}$ son las funciones de coordenadas. Puesto que un campo vectorial es una sección del haz tangente, y un vector tangente se define (parcialmente) como los mapas $C^{\infty}(M)_{p}\rightarrow F$ No creo que los dos teoremas sean iguales ni que se puedan "traducir".