Para la red, ¿cuáles son los bosones de Goldstone para las simetrías de rotación rotas?

Question

En $1$ dimensión, sabemos que la red rompe la simetría traslacional continua en una simetría traslacional discreta, lo que genera $1$ El bosón de Goldstone, es decir $1$ fonones longitudinales.

En $d$ dimensiones, si sólo hay $1$ tipo de átomos, entonces hay $1$ fonón longitudinal y $d-1$ fones transversales. Sin embargo, en $d$ dimensiones, las simetrías continuas de $d$ grupo euclidiano dimensional se rompen, y en principio deberíamos tener $d+\frac{d(d-1)}{2}=d(d+1)/2$ Bosones de Goldstone. ¿Qué son los otros bosones de Goldstone?

Answer 1

Para el caso de la simetría traslacional, sin pausas punto de la phonon modo se entiende como una traducción uniforme de la celosía, que por supuesto que los costos de energía cero. Sin embargo, diciendo que el fonón es sin pausas, prácticamente calcular la energía $E(k)$ de un fonón de celosía impulso $k$, y tomar el límite $$\lim_{k\to 0}E(k)=0.$$ The limit of lattice momentum $k\a 0$ is approachable because in the limit of crystal size $L\to \infty$, $k$ se convierte en cuasi-continuo.

Ahora veamos el caso de la simetría rotacional. En primer lugar, con el uniforme de rotación de todo el entramado, de nuevo, sabemos que los costos de la energía no se, que debe servir como el sin pausas punto de la Goldstone modo. Sin embargo, no podemos definir un "entramado momento angular", que es un "generador" de la discreta rotación de grupo, y que se convierte en cuasi-continua en el gran límite de tamaño.

Entonces, para resumir, es fácil constatar que hay un cero en el modo correspondiente a la rotación de ruptura de simetría (uniforme de rotación del cristal). Sin embargo, a diferencia de los fonones, no hay casi continua número cuántico (el entramado del momento angular) podemos escribir su "dispersión" en términos de. Así, de este modo es menos hablado en la literatura.

Sin embargo, considere el siguiente ejemplo:

Este sistema es no un entramado, pero sin embargo tiene una discreta simetría rotacional. En este caso, uno puede definir un cuasi-continua analógica del momento angular, y el espectro de la Goldstone modo correspondiente a la rotación de la ruptura de la simetría puede ser fácilmente obtenido.

Este sistema, también se rompe la simetría de traslación. Sin embargo, uno no puede definir un fonón modo que tiene la dispersión lineal como una función de impulso, aunque existe un Goldstone correspondiente a la traducción de ruptura de simetría.

Answer 2

El artículo de Wikipedia sobre " Bosón de Goldstone " dice

En general, el fonón es efectivamente el bosón Nambu-Goldstone para la simetría Galilea/Lorentz rota espontáneamente. Sin embargo, en contraste con el caso de la ruptura de la simetría interna, cuando se rompen las simetrías del espaciotiempo, el parámetro de orden no tiene por qué ser un campo escalar, sino que puede ser un campo tensorial, y los correspondientes modos independientes sin masa pueden ser ahora menores que el número de generadores rotos espontáneamente, porque los modos de Goldstone pueden ser ahora linealmente dependientes entre sí: por ejemplo, los modos de Goldstone para algunos generadores podrían expresarse como gradientes de modos de Goldstone para otros generadores rotos.

No pretendo entenderlo del todo, pero aparentemente la regla habitual - que en un sistema relativista, cada simetría rota espontáneamente obtiene un modo de Goldstone independiente - sólo se aplica para las simetrías internas, no para las espaciales.