La norma $\|\cdot\|$ es una función de$V$$\Bbb R$. Hay muchas topologías que se pueden colocar en $V$ que hacen esta función continua. Deje $\mathscr{T}$ ser el conjunto de todas estas topologías. Luego resulta que no es una topología $\tau_0\in\mathscr{T}$ tal que $\tau_0\subseteq\tau$ todos los $\tau\in\mathscr{T}$. Es decir, cada topología en $V$ que hace la norma de una función continua se tiene que incluir todos los bloques abiertos en $\tau_0$. Esto, por cierto, es equivalente a decir que el $\tau_0=\bigcap\mathscr{T}$. Más débiles de la topología aquí significa más áspero de la topología, es decir, el uno con el mínimo de abrir sets necesarios para hacer la norma función continua.
Adición de vectores es una función de $+$$V\times V$$V$. Una vez que nos impone la topología $\tau_0$$V$, por lo que automáticamente se obtiene un producto de la topología en $V\times V$, y tenemos que preguntarnos si la función de $+:V\times V\to V$ es continua con respecto a ese producto de la topología en $V\times V$ y la topología $\tau_0$$V$. Resulta que es. En este contexto, conjuntamente continua es sólo un sinónimo de continuo con respecto a la topología producto, por lo que (1) es simplemente decir que la adición de vectores es una función continua. Del mismo modo, el campo de $K$ natural topología $\tau_K$, lo $K\times V$ tiene un producto topología definida de$\tau_K$$\tau_0$, y (2) es simplemente la afirmación de que la multiplicación escalar de la función
$$\cdot:K\times V\to V:\langle\alpha,v\rangle\mapsto \alpha v$$
es continua con respecto a este producto de la topología en $K\times V$ y la topología $\tau_0$$V$.
La razón para el término conjuntamente continua es que es posible para una función $f:X\times Y\to Z$ que no es continua, sin embargo se continua en cada variable por separado. Es decir, es posible para cada función
$$f_x:Y\to Z:y\mapsto f(x,y)$$
con $x\in X$ ser continua y para cada función
$$f^y:X\to Z:x\mapsto f(x,y)$$
con $y\in Y$ a ser continua, sin $f:X\times Y\to Z$ continua como una función de dos variables.
Cuando cada función
$$f_x:Y\to Z:y\mapsto f(x,y)$$
con $x\in X$ a ser continua, decimos que $f$ es continua en la segunda variable, y cuando cada función
$$f^y:X\to Z:x\mapsto f(x,y)$$
con $y\in Y$ a ser continua, decimos que $f$ es continuo en la primera variable. Si ambos son el caso, $f$ es separadamente continua, pero, como he dicho, esto no garantiza que realmente es continua en función del espacio del producto $X\times Y$ a el espacio de $Z$.
