Si trabajo sobre un campo k,escriba D para el disco formal k[[t]] y D x para el disco puntuado formal k((t)), entonces hay una secuencia exacta larga asociada en la teoría K algebraica
... K n+1 (D x ) --> K n (k) --> K n (D) --> K n (D x ) ...
Quiero saber, ¿qué pasa si sustituimos la base k por un esquema más general?
(Me interesa especialmente el mapa K 2 (D x ) --> K 1 (k) (que debe ser el símbolo manso, ¿no?))
No tengo la referencia conmigo ahora mismo, pero creo que la secuencia de localización para la teoría K sobre la base general se manejó en:
R. W. Thomason, T. Trobaugh, Higher algebraic K-theory of schemes y de categorías derivadas, "The Grothendieck Festschrift", (1990) 247--435.
Hay un enlace con el libro de Google, pero faltaban las páginas pertinentes.
No estoy seguro de que lo que tengo que decir que realmente se aborda el corazón de tu pregunta, pero parece que al menos relativa.
La Localización general Teorema (7.4 de Thomason-Trobaugh) indica lo siguiente. Supongamos $X$ un quasiseparated, quasicompact esquema, supongamos $U$ un abierto Zariski en $X$ tal que $U$ es también quasiseparated y quasicompact, y supongamos $Z$ cerrado el complemento. A continuación, la siguiente secuencia de espectros es una fibra secuencia: $$K^B(X\textrm{ on }Z)\to K^B(X)\to K^B(U).$$ Aquí $K^B$ se refiere a los Graves nonconnective delooping algebraico $K$-teoría. Uno consigue así una larga secuencia exacta $$\cdots\to K_n^B(X\textrm{ on }Z)\to K_n^B(X)\to K_n^B(U)\to K_{n-1}^B(X\textrm{ on }Z)\to\cdots$$ (Si uno intenta trabajar sólo con el conectivo versión, a continuación, la secuencia exacta termina con torpeza, ya que $K_0(X)\to K_0(U)$ no es en general surjective; de hecho, la obstrucción de la elevación $K_0$-clases de $U$ $X$es, precisamente, $K_{-1}(Z)$ por Bajo del teorema fundamental.)
El plazo $K^B(X\textrm{ on }Z)$ es el Bajo de delooping de la $K$-teoría de la ∞-categoría de perfecto complejos de quasicoherent $\mathcal{O}$-módulos que son acíclicos en $U$. La identificación de esta fibra plazo con $K^B(Z)$ es generalmente un asunto delicado. Permítanme resumir en una situación en la que se puede hacer.
Supongamos que $X$ admite una amplia familia de la línea de paquetes [Thomason-Trobaugh 2.1.1, SGA VI Exp. II 2.2.3], y supongamos que $Z$ admite un subscheme estructura tal que la inclusión $Z\to X$ es un habitual de la inmersión (de modo que la relación cotangente complejo de $\mathbf{L}_{X|Z}$ $I/I^2[1]$ donde $I$ es el ideal de la definición), y $Z$ es de codimension $k$$d$$X$. A continuación, el espectro de $K^B(X\textrm{ on }Z)$ coincide con un nonconnective delooping de la Quillen $K$-teoría de la exacta categoría de pseudocoherent $\mathcal{O}_X$-módulos de Tor-dimensión $\leq k$ apoyado en $Z$. Ahora si $Z$ $X$ son regulares noetherian esquemas, a continuación, un dévissage argumento ahora nos permite identificar a $K^B(X\textrm{ on }Z)$$K(Z)$.
Ahora estoy asumiendo que $K(D)$ se refiere sólo a la $K$-teoría del anillo de $k[[t]]$ (y no, por ejemplo, el $K$-teoría del esquema formal $\mathrm{Spf}(k[[t]])$), luego la discusión anterior se aplica a darle su deseado de la localización de la secuencia $$K^B(X)\to K^B(X[[t]])\to K^B(X((t)))$$ para cualquier esquema de $X$ admisión de una amplia familia de la línea de paquetes. Si, en particular, $X$ es regular, luego de la negativa del $K$-teoría se desvanece, y tenemos una secuencia de localización $$K(X)\to K(X[[t]])\to K(X((t)))$$
Esto no es una respuesta directa a la pregunta original, pero es lo que me interesa.
He encontrado lo siguiente en 12.14(iii) del artículo de Brylinski y Deligne "Central Extensions of Reductive Groups by K_2". Citaré el párrafo correspondiente y lo comentaré después.
Supongamos que V es henseliano y esencialmente de tipo finito sobre un campo. Para j (resp i) la inclusión de G (resp G_s) en G_V, la resolución de Quillen da una breve secuencia exacta de láminas sobre G_V. $$0 \to K_2 \to j_\*K_2 \to i_\*K_1(D) \to 0$$
Las K son teoría K sheafificada en el gran sitio de Zariski. G es la fibra genérica de un esquema de grupo liso G_V, con la fibra especial G_s.
Lo que no sé es qué significa "esencialmente de tipo finito sobre un campo", ni cómo surge esta secuencia exacta.
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