Un colector de tal forma que su límite es una deformación de retractarse del colector de sí mismo.

Question

Si tenemos una compacta orientable colector $M$, sabemos que $\partial M$ no es una deformación retractarse de $M$. Esto se desprende de la Dualidad de Poincaré o Teorema de Stokes.

Si tomamos distancia de compacidad, esto no es cierto. Por ejemplo, tomar la mitad superior del plano.

Estoy interesado en un ejemplo de un compacto , pero no orientable, de tal manera que $\partial M$ es una deformación retractarse de $M$. Es esto posible? Si es así, ¿cuál es un ejemplo?

Answer 1

Para cualquier no-cerrado $n$-colector de $M$, $H_n(M;G) = 0$ para todos los grupos de $G$. Ver Hatcher teorema 3.29. (Para pasar de una compacta manifold con frontera a un noncompact uno, la cola en un collar de barrio de la frontera.) Yo creo que moralmente esto es porque compacto colector $M$ con límite es homotopy equivalente a un $(n-1)$-dimensiones CW complejo; estoy bastante seguro de que esto es cierto, pero no recuerdo una referencia.

Ahora para un compacto $n$-colector con límite de $M$, independientemente de la orientación de las aflicciones, $H_n(M,\partial M;\mathbb Z/2) \cong \mathbb Z/2$. Usted puede probar esto a mano o con el uso de Lefschetz la dualidad.

Ahora el bit de la larga secuencia exacta de los par $(M,\partial M)$ que nos importa es $$0 \to H_n(M,\partial M) \to H_{n-1}(\partial M) \to H_{n-1}(M).$$ If there was a retract $M \a \partial M$, then the map $H_{n-1}(\partial M) \a H_{n-1}(M)$ would be injective. But the kernel of this map is the image of the injective map $\mathbb Z/2 \cong H_n(M,\partial M) \a H_{n-1}(\partial M)$. Allí está la contradicción.

Si usted quiere evitar la dualidad de Poincaré, usted puede obtener un resultado más débil ($M$ no deformación retrae sobre el límite; no se puede decir nada acerca de retracción) más fácilmente usando el enlace y el esquema de Jim Belk publicado en los comentarios de arriba. Para pasar a la doble $DM$; si $M$ deformación se retractó en $\partial M$, $DM$ deformación se retrae en $\partial M$; la retracción no es surjective por lo tanto tiene un mod 2 grado cero; pero el mod 2 grado de la identidad del mapa es uno, y el mod de 2 grados es un homotopy invariante.