Medida de Lebesgue de la gráfica de una función

Question

Deje que $f:R^n \rightarrow R^m$ ser cualquier función. Será la gráfica de f siempre tiene medida de Lebesgue cero?

1) he podido demostrar que esto es cierto si $f$ es continua.

2) yo sospecho que es cierto si $f$ es medible, pero no estoy seguro. (Mi idea era usar el teorema de Fubini para integrar la función de indicador de la gráfica, pero no sé si estoy usando el teorema correctamente).

Si 2) es incorrecta, lo que sería un contraejemplo donde la gráfica de $f$ tiene medida positiva?

Si 2) es correcta, podemos probar la existencia de un no-medibles de la función cuya gráfica tiene positivos exterior de la medida?

Answer 1

Ninguna función puede tener un gráfico con medida positiva o incluso positiva interior de la medida, ya que cada función gráfica tiene una cantidad no numerable de distintos vertical de traducciones, que cubrir el plano.

Mientras tanto, usando el axioma de elección, no es una función cuya gráfica tiene positivos exterior de la medida. La construcción es más fácil para ver si uno asume que el proceso Hipótesis es verdadera, así que voy a suponer que.

Para empezar, tenga en cuenta primero de que sólo hay continuidad a los numerosos conjuntos en el avión, ya que cada conjunto es determinado por un contables de la unión de básica abrir bolas con rational centro y racional de la radio. Siguiente, se deduce que el número de $G_\delta$ conjuntos también es continuo, ya que cualquier conjunto tal es determinado por una contables de la secuencia de bloques abiertos, y $(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$.

Así, podemos enumerar los $G_\delta$ conjuntos en el plano como $A_\alpha$ $\alpha\lt \aleph_1$ (usando CH). Construir una la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ por transfinito de inducción. En cualquier etapa $\alpha\lt \aleph_1$, tenemos la aproximación $f_\alpha$ $f$, y vamos a suponer que se ha sido definido en sólo $\alpha$ muchos puntos. Dado $f_\alpha$, considere la posibilidad de la $G_\delta$ $A_\alpha$. Si nos se puede extender $f_\alpha$ a una función $f_{\alpha+1}$ por definir en un punto más de $x$, de modo que $(x,f_{\alpha+1}(x))$ es fuera de $A_\alpha$, y luego hacerlo. De lo contrario, $A_\alpha$ contiene el complemento de countably muchas líneas verticales en el plano, y por lo tanto tiene la medida completa.

Después de esta construcción, extender el resultado de la función si necesario para un total función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Ahora sigue que la gráfica de $f$ no es contenida en $G_\delta$ set con menos de la medida completa. Por lo tanto, la gráfico ha externa completa de la medida.

Ahora, finalmente, el mismo de la construcción de obras sin CH, una vez que te das cuenta de que cualquier $G_\delta$ set que contiene el complemento de menos de continuum muchas líneas verticales tiene plena medida.