Dejemos que $f(X,Y) \in \mathbb{Q}[X,Y]$ sea un polinomio cuadrático. El Teorema de Hasse-Minkowski dice que $f(X,Y) = 0$ tiene una solución $(x,y) \in \mathbb{Q}^2$ si tiene una solución en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{Q}^2 _p$ para cada primo $p$ y esto falla famosamente para las formas de orden superior como los cúbicos, etc., con el fallo medido por el grupo Tate-Shafarevich.
¿Existe una forma geométrica sencilla de pensar en esto?
Edición: Más concretamente, ¿qué "aspecto" tiene la unión de las soluciones locales en una solución global? ¿Hay alguna forma de visualizarlo?
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Es decir, en cierto sentido hay que pensar en los primos de $\mathbb{Z}$ como puntos de una curva, y la localización de $\mathbb{Z}$ en $p$ como "centrarse en $p$ ", o investigando la curva "en $p$ ". A partir de esto, el principio de local a global dice precisamente que se tiene una propiedad en esta curva en todas partes (globalmente) si se tiene la propiedad en cada punto (localmente). Sin embargo, no sé si esto es lo que querías. Parece más bien que estás preguntando literalmente cómo es la solución. Quiero decir, ¿un buen ejemplo del tipo de cosa que estás buscando sería la siguiente analogía: un poli.
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$f(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{Z}[x_1,\ldots,x_n]$ tiene una solución en $\mathbb{Z}_p$ si y sólo si tiene una solución en cada $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ ? Aquí podemos "ver" realmente la solución dadas las soluciones para $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ . Simplemente formamos una tupla entrelazando soluciones coherentes. ¿Quiere decir literalmente que explícitamente?
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Sí, eso es exactamente lo que estoy buscando. En realidad, mi dificultad podría venir de algo mucho más básico: no tengo mucha intuición para los números p-ádicos, y así, mientras que está claro lo que es un punto real o racional en una curva (como una sección cónica), no puedo imaginarme un punto p-ádico. Sin embargo, el procedimiento para construir una solución racional a partir de soluciones reales y p-ádicas parece bastante sencillo, al menos en cuanto al método.
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El teorema anterior te dice realmente cómo imaginar un $p$ - punto de vista de los enfermos. Si quieres comprobar si algo tiene un $\mathbb{Z}$ -punto, lo primero que hay que comprobar es si tuvo o no un $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ -punto para todos $n$ . Este es el obstáculo obvio para tener una $\mathbb{Z}$ -punto, al menos en lo que respecta a $p$ se refiere. Por supuesto, estas soluciones deben ser coherentes entre sí (de modo que la reducción mapea la solución elegida a la solución elegida en una potencia menor de $p$ ).
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Sería estupendo que existiera un único objeto geométrico que pudiera capturar tal $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ solución para todos $n$ --este objeto es precisamente $\mathbb{Z}_p$ (como el teorema que te dije demostró). Esto es literalmente como pienso en $\mathbb{Z}_p$ . Es el espacio geométrico donde las soluciones consistentes a un sistema de ecuaciones en cada $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ naturalmente en vivo.