He visto que hay varias pruebas de que no existen modelos no estándar de la aritmética, pero parece que todas se basan en el teorema de compacidad, que no está implícita por ZF. Entonces, ¿hay alguna evidencia en ZF que no existe un modelo no estándar de PA? Tennenbaum del teorema, que dice que todo no estándar modelo es uncomputable parece insinuar la posibilidad de que existan modelos de ZF que no contienen no estándar de los modelos de PA.
Respuesta
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No, ZF, sin elección, es suficiente para demostrar que el PA tiene modelos no estándar. La razón es que el PA se formaliza en una contables de primer orden lenguaje. Para tales idiomas (de hecho, para todos los de primer orden, las teorías bien-paquete de idiomas), el teorema de completitud y por lo tanto el teorema de compacidad son demostrables, sin elección.
Para demostrar el teorema de completitud de teorías contables idioma, usted puede seguir la costumbre Henkin integridad de la prueba. La parte de la prueba que añade Henkin constantes y el Henkin axiomas que rigen necesita ninguna opción. El siguiente paso en la prueba usual, es decir, la ampliación de la resultante de la teoría a una teoría completa, se realiza generalmente con el Lema de Zorn, pero, en vista de countability, podemos usar una simple inducción lugar. Lista de todas las frases en el idioma (incluyendo Henkin constantes) en una secuencia (indexados por los números naturales). Ir a través de esta secuencia, una frase a la vez, añadiendo cada oración con su teoría de la fib es consistente con todo lo que ya está en su teoría. Después de una contables de la secuencia de pasos, tendrás una teoría completa, y se puede utilizar para definir un modelo al igual que en la prueba usual.
