Cualquier prime es irreductible

Question

He visto muchas pruebas acerca de un primer elemento es irreducible, pero hasta ahora estoy pensando en si este resultado es cierto para cualquier anillo. Recientemente, recibí esta prueba:

Supongamos que $a$ es primo,y que $a = bc$. Entonces, ciertamente,$a\mid bc$, por lo que, por definición, de primer, $a\mid b$ o $a\mid c$, decir $a \mid b$. Si $b = ad$$b = bcd$, lo $cd = 1$ y, por tanto, $c$ es una unidad. (Tenga en cuenta que $b$ no puede ser $0$,para si es así, $a = bc = 0$, lo cual no es posible ya que $a$ es primo.) Del mismo modo, si $a\mid c$$c = ad$$c = bcd$, lo $bd = 1$ $b$ es una unidad. Por lo tanto, $a$ es irreductible.

Creo que con lo anterior evidencia que no necesita el anillo integrante de dominio. Si este es el caso, entonces voy a dejar de dudar, de lo contrario, todavía estoy en ello.

Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Observe que la prueba se supone que $\rm\: b\ne 0\ \Rightarrow\ b\:$ es cancelable, por lo que no si $\rm\:b\:$ es un cero divisor. La factorización de la teoría es más complicado en la no-dominios. Nociones básicas tales como asociado y irreductible se bifurcan en un par de no equivalentes las nociones. Véase, por ejemplo,

Cuando se Asocia Unidad Múltiplos?
D. D. Anderson, M. Axtell, S. J. Forman, y Joe Stickles.
Rocky Mountain J. Math. Volumen 34, Número 3 (2004), 811-828.

Factorización en Anillos Conmutativos con Cero divisores.
D. D. Anderson, Silvia Valdés-León.
Rocky Mountain J. Math. Volumen 28, Número 2 (1996), 439-480

Answer 2

Si usted elige la definición de $a$ es irreducible si $a=bc$ implica que el $(a)=(b)$ o $(a)=(c)$ entonces es cierto en realidad. Por ejemplo, la prueba es como sigue:

Deje $p\in R$ ser un no-cero, no de la unidad. Supongamos $p=bc$. Claramente tenemos $b\mid p$ $c \mid p$ desde $b$ $c$ son factores de $p$. Por otro lado, $1\cdot p=bc$ implica que el $p \mid bc$ $p$ siendo el primer implica $p \mid b$ o $p \mid c$. Por lo tanto $(p)=(b)$ o $(p)=(c)$ muestra $p$ es irreductible por esta definición.

Por desgracia, el primer es muy diferente a la de cualquier otra de las posibles definiciones de irreductible al cero divisores son el presente que estoy familiarizado con. De la anterior definición es la más débil opción para irreductible de la que soy consciente.