Por qué es cada categoría no isomorfo a su opuesto?

Question

Este es un principiante categoría de la teoría de la pregunta:

Estoy tratando de envolver mi cabeza alrededor del hecho de que hacemos no tiene $\mathbf{Sets} \cong \mathbf{Sets}^\mathsf{op}$, es decir, la categoría de conjuntos no es isomorfo a su opuesto.

Hasta donde tengo entendido, un isomorfismo entre las categorías es un functor $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ para los que existe una relación inversa entre la $G : \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C}$ tal que $FG = 1_\mathcal{D}$$GF = 1_\mathcal{C}$, es decir, un isomorfismo en la categoría de categorías.

Ahora, considere el functor $-^\mathsf{op}$, es decir, el functor el envío de su categoría a su opuesto. ¿Por qué es este functor no es un isomorfismo (de cualquier categoría!), con sí mismo a la inversa? Sé que me he perdido algo, ya que esto implicaría que $\mathbf{Sets}$ es isomorfo a su opuesto.

Answer 1

He aquí un buen ejemplo práctico.

Posets puede ser pensado como categorías en las que los dos objetos tienen en la mayoría de flecha entre ellos. Si usted comienza con un poset $(P,\leqslant)$, entonces usted puede formar una categoría $\mathscr{C}_P$ cuyo objeto establecer es $P$ sí y $u,v\in P$ tienen una flecha $u\to v$ si y sólo si $u\leqslant v$.

Por el contrario, si $\mathscr{C}$ es una categoría pequeña con una flecha entre los objetos, se puede formar un poset $(P_\mathscr{C},\leqslant_\mathscr{C})$ diciendo $u\leqslant_\mathscr{C} v$ si y sólo si hay una flecha $u\to v$.

Por otra parte, isomorphisms entre posets y sus correspondientes categorías son la misma cosa. Creo que debe ser fácil de ver.

Por lo tanto, empezar con su programa favorito de poset $(P,\leqslant)$. Interpretar esto como categoría $\mathscr{C}_P$. Cuando usted toma el contrario categoría $\mathscr{C}_P^\text{op}$ claramente conseguir otro poset (en la mayoría de flecha!). Que poset? El opuesto poset! Es decir, $(P,\leqslant_\text{op})$ donde $x\leqslant_\text{op}y$ si y sólo si $y\leqslant x$.

En particular, es fácil ver que $\mathscr{C}_P^\text{op}\cong\mathscr{C}_P$ si y sólo si $(P,\leqslant_\text{op})\cong(P,\leqslant)$

Ahora, ¿por qué es esto relevante para nosotros? Tomar cualquier poset que tiene un mínimo elemento, pero de ningún elemento maximal (decir $\mathbb{N}$ con la normal de ordenar). Entonces, no es difícil ver que el $(P,\leqslant_\text{op})$ tiene un elemento maximal, pero no mínimo elemento! Pero, estas son las propiedades que se conservan bajo isomorphisms de posets. Por eso,$(P,\leqslant_\text{op})\not\cong (P,\leqslant)$$\mathscr{C}_P^\text{op}\not\cong\mathscr{C}_P$.

Por supuesto, el problema es que, como otros han señalado, el "isomorfismo" voltea todo (por ejemplo, el mínimo elemento se convirtió en el elemento maximal).

El pensamiento acerca de posets es una buena manera de poner a prueba la comprensión. Mantener en su bolsillo trasero.

Answer 2

Tal vez la forma más fácil de ver que la categoría de conjuntos no es isomorfo a su doble es de observar que no es un objeto, es decir, el conjunto vacío, de tal manera que todos los morfismos en ella se isomorphisms, pero no hay ningún objeto, de modo que todos los morfismos de él isomorphisms.