Ramanujan $\tau$ conjetura de los estados que $$\tau(n)\sim O(n^{\frac{11}2+\epsilon})$$ which is a consequence of Deligne's proof of Weil conjectures. My question is what is best that could be proved possibly without etale cohomology regarding $\tau(n)$?
Respuestas
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En Hardy "Ramanujan - Doce Conferencias sobre Temas Sugeridos por su La vida y el Trabajo", en el capítulo 10, la sección 10.7, en el crecimiento de $\tau(n)$, Resistente a los estados que
"Vimos en la sección 9.18 que $\tau(n) = O(n^8)$. Ramanujan le dio una más primaria prueba de que $\tau(n) = O(n^7)$, y esta es la más que ha sido demostrado por "elementary" métodos.
Yo demostrado en 1918, por el método utilizado por Littlewood y a mí en nuestro trabajo en Waring del problema, que $\tau(n) = O(n^6)$. Kloosterman demostrado en 1927 que $\tau(n) = O(n^{47/8+c})$ para cada positivos $c$; Davenport y Salie demostrado de forma independiente en 1933 que $\tau(n) = O(n^{35/6+c})$; y por último Rankin demostrado en 1939 que $\tau(n) = O(n^{29/5})$, el mejor resultado se conoce todavía. Los índices de aquí son (aparte de la $c$'s) menos de $6$ por $1/8$, $1/6$, y $1/5$, respectivamente."
Aquí está la prueba (de la sección 9.18, página 156) que $\tau(n) = O(n^8)$. Mis disculpas por cualquier errores de transcripción.
"Se sigue de una fórmula de Jacobi que he citado varias veces ya que $\sum \tau(n) x^n = x\{(1-x) (1-x^2) \}^{24} = x(1-3x+ 5x^3 -7x^6+ ... )^8$, los exponentes en la serie siendo los números triangulares. Ahora $( 1- 3x + ... )^8$ es majorised por $\left(\sum_{n=0}^{\infty} (2n + 1) x^{n(n+1)/2}\right)^8$ , que es de orden $( 1 - x )^{-8}$ al $x\to 1$ (ver abajo). Por lo tanto $|\tau(n)|x^n < \sum |\tau(n)| x^n <A(1-x)^{-8}$, donde $A$ es una constante, para todos los $n$$x$. Tomando $x = 1-1/n$, al $x^n$ es de alrededor de $1/e$, nos encontramos con que $\tau(n) = O(n^8)$."
Aquí es Resistente a prueba de de la envolvente del $(1-x)^{-8}$:
"Que de $(\sum n x^{n^2/2})^8$ o de $(\int_0^{\infty} t e^{-y t^2/2} dt)^8$ donde $e^{-y} = x$. Este es el de $y^{-8}$ o $(l-x)^{-8}$."
Matt Dawdy
Puntos
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El pentagonal número teorema implica que $\tau(n - 1)$ es mayor el número de $24$-tuplas de números pentagonales sumar a $n$. Hay $O(\sqrt{n})$ pentagonal números que pueden aparecer en esta suma, que da
$$\tau(n) \in O(n^{12}).$$
Edit: también Considere el siguiente argumento heurístico. El pentagonal número teorema de hecho nos permite escribir $\tau(n - 1)$ como una suma de $O(n^{12})$ signos. Se supone que estas señales están distribuidos al azar. Entonces uno espera que su suma para tener valor absoluto $O(n^6)$ por un sencillo cálculo de la varianza. Este es el mismo tipo de argumento que alude a la posibilidad de que Gauss sumas debe tener valor absoluto en torno a $\sqrt{p}$.
Pero en realidad Ramanujan la conjetura es mejor que este en un factor de $\sqrt{n}$. No sé de donde este ahorro adicional proviene incluso de forma heurística.
