¿Qué es? $\max{(1/\alpha+1/\beta+|1/\gamma|+|1/\delta|)}$ ?

Question

Consideremos un polinomio $(\alpha ,\beta >0)$ , $f(x)=x^3/\alpha+x^2/\beta+x/\gamma+1/\delta$ .

Si $|f(x)|\leq 1$ para $|x|\leq 1$ entonces $\max{(1/\alpha+1/\beta+|1/\gamma|+|1/\delta|)}$ ¿Es qué?

Intuitivamente parece que el valor debe estar dentro del rango $1$ a $10$ .... solo se han introducido valores aleatorios.Pero no soy capaz de resolverlo....

Answer 1

Creo que es $$\max \left\{ \dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{|\gamma|}+\dfrac{1}{|\delta|}\right\}= 7$$

De hecho, es el problema de la OMI de 1996:

Dejemos que $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ , donde $a,b,c,d$ son números reales, si $|x|\le 1\implies|P(x)|\le 1$ demuestran que $$|a|+|b|+|c|+|d|\le 7$$

Prueba: está claro $$|P(1)|=|a+b+c+d|\le 1\space,|P(-1)|=|-a+b-c+d|\le 1$$ $$\left|P\left(\dfrac{1}{2}\right)\right|=\left|\dfrac{1}{8}a+\dfrac{1}{4}b+\dfrac{1}{2}c+d\right|\le 1\space,\left|P\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right|=\left|-\dfrac{1}{8}a+\dfrac{1}{4}b-\dfrac{1}{2}c+d\right|\le 1$$ Nota \begin{align*} &|\lambda\cdot a+b|=\left|\dfrac{4}{3}(\lambda\cdot a+b+\lambda\cdot c+d)-2\left(\dfrac{\lambda}{8}a+\dfrac{1}{4}c+\dfrac{\lambda}{2}c+d\right)+\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{\lambda}{8}a+\dfrac{1}{4}b-\dfrac{\lambda}{2}c+d\right)\right|\\ &\le\dfrac{4}{3}+2+\dfrac{2}{3}=4 \end{align*} donde $\lambda=\pm 1$ por lo que tenemos $$|a|+|b|=\max{\{|a+b|,|-a+b|\}}\le 4$$ \begin{align*} &|\lambda c+d|=\left|-\dfrac{1}{3}\left(\lambda a+b+\lambda c+d\right)+2\left(\dfrac{\lambda}{8}a+\dfrac{1}{4}b+\dfrac{\lambda}{2}c+d\right)-\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{\lambda}{8}a+\dfrac{1}{4}b-\dfrac{\lambda}{2}c+d\right)\right|\\ &\le \dfrac{1}{3}+2+\dfrac{2}{3}=3 \end{align*} por lo que tenemos $$|c|+|d|\le\max{\{|c+d|,|-c+d|\}}\le 3$$ entonces $$|a|+|b|+|c|+|d|\le 7$$