cálculo de variaciones pregunta

Question

Me gustaría encontrar una función continua $y : [0,4] \to \mathbb{R}$ que minimiza el siguiente funcional

$$I (y) := \displaystyle\int_{0}^4\sqrt{y\left(1+(y^{\prime})^2\right)} dx$$

sujeto a las condiciones de frontera,$y (0) = 5/4$$y (4) = 13/4$. ¿Cómo puedo resolver este problema de minimización? Traté y traté, pero no puedo deshacerme de la $y^{\prime}$. Lo que puedo hacer, tengo un grande y feo de la ecuación de con $y$$y^{\prime}$, e incluso si lo puedo cambiar a $\frac{dy}{dx}$, no hay nada mejor. Alguien tiene una idea?

Answer 1

Dado que el integrando $F(y,y')$ no depende de $x$ el de Euler-Lagrange ecuación tiene una primera integral

$$y'F_{y'}-F=C \tag{1}$$ donde $$F=\sqrt{y(1+y'^2)}$$ $$F_{y'}=\frac{y'y^{1/2}}{\sqrt{1+y'^2}}$$ La inserción en (1): $$\frac{y'^2y^{1/2}}{\sqrt{1+y'^2}}-\sqrt{y(1+y'^2)}=C$$ $$\frac{y'^2y^{1/2}-y^{1/2}(1+y'^2)}{\sqrt{1+y'^2}}=C$$ $$\frac{y^{1/2}}{\sqrt{1+y'^2}}=C$$ $$\frac{y}{1+y'^2}=C^2$$ Me gusta usar el siguiente cambio de variable para resolver este tipo de ecuaciones en forma paramétrica: $$y'=\tan \phi$$ Que se derivan de $$y=\frac{C^2}{(\cos \phi)^2}$$ Ahora $$dx=\frac{dy}{y'}=2\frac{C^2\sin\phi}{(\cos\phi)^3}\frac{\cos\phi}{\sin\phi}d\phi=2С^2\frac{d\phi}{(\cos\phi)^2}$$ $$x=2C^2\tan \phi +A$$

Answer 2

Vamos $$\int\sqrt{y\left(1+(y^{\prime})^2\right)}dx=I$$ Then, $$\left(\frac{dI}{dx} \right)^2={y\left(1+\left (\frac{dy}{dx} \right)^2\right)}$$So,$$\left(dI \right)^2=y\left(\left(dx \right)^2 + \left(dy \right)^2\right)=y\left(dx \right)^2 + y\left(dy \right)^2$$Therefore, $$\int\left(\int dI\right) dI=\int\left(\int y dx\right) dx+\int\left(\int y dy \right)dy$$This will eventually give you, $${I}=\int_0^4{yx}dx+\int_0^4 \frac{y^2}2dy+constant$$Therefore, $$I=8y+\frac{32}3+constant$$

Answer 3

Girando la manija en el de Euler-Lagrange las ecuaciones, tengo $$2yy''=1+(y')^2.$$ Let $u=y^{1/2}$ to write this as $$u''=\frac{1}{u^3}.$$ (This arises by trying to write the first and second derivative terms together as a derivative of $y^ky'$ for some $k$.) Multiply by $u'$ and integrate. This yields a first order equation for $u$ de la forma $$ u'=\frac{\sqrt{cu^2-1}}{u},$ $ , que debe ser solveable.