La evaluación de $\int_{0}^{1} \frac{dx}{1+{}_2F_{1}\left(\frac{1}{n},x;\frac{1}{n};\frac{1}{n}\right)}$

Question

En una alondra (como seguimiento a esta pregunta), yo estaba jugando con Wolfram alpha, y parece que

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{1+{}_2F_{1}\left(\frac{1}{n},x;\frac{1}{n};\frac{1}{n}\right)} = \frac{\log\left(\frac{2n}{2n-1}\right)}{\log\left(\frac{n}{n-1}\right)}$$

Podría alguien tomar una puñalada en probar esto?

Answer 1

Para hacer GEdgar la solución más explícito: cuando tienen igual numerador y el denominador de parámetros en una función hipergeométrica, usted puede cancelar ellos:

$${}_2 F_1\left({{1/n}\atop{}}{{}\atop{1/n}}{{x}\atop{}}\mid \frac1{n}\right) = \sum_{j=0}^\infty \frac{(1/n)_j (x)_j}{(1/n)_j}\frac{(1/n)^j}{j!} = \sum_{j=0}^\infty (x)_j\frac{(1/n)^j}{j!} = {}_1 F_0\left({{x}\atop{-}}\mid \frac1{n}\right)$$

${}_1 F_0$ posteriormente pueden ser re-expresadas como un binomio de la serie por la explotación de identidades para la conversión de Pochhammer símbolos para los coeficientes binomiales...

Answer 2

${}_2F_1(1/n,x;1/n,1/n) = {}_1F_0(x;;1/n) = (1-1/n)^{-x}$