Una integración de producto $(1-x^n)$

Question

Demostrar $$\int_0^1\prod_{n=1}^\infty(1-x^n)dx=\frac{4\pi\sqrt3}{\sqrt{23}}\frac{\sinh\frac{\pi\sqrt{23}}3}{\cosh\frac{\pi\sqrt{23}}2}.$$ De hecho, producto $(1-x^n)$ es difícil de calcular, espero que usted me puede mostrar algunas ideas, gracias!

Answer 1

Podemos utilizar el número pentagonal teorema y obtener $$\int_{0}^{1}\prod_{n\geq1}\left(1-x^{n}\right)dx=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\left(-1\right)^{k}\int_{0}^{1}x^{k\left(3k-1\right)/2}dx=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\left(-1\right)^{k}\frac{2}{3k^{2}-k+2}$$ and now we can use the well known summation formula $$\sum_{n\in\mathbb{Z}}\left(-1\right)^{n}f\left(n\right)=-\sum\left\{ \textrm{residuos de }\pi\csc\left(\pi z\right)f(z)\textrm{ a }f\left(z\right)\textrm{'s polos}\right\}$$ and since we have poles at $z=\frac{1}{6}\left(1\pm i\sqrt{23}\right)$ podemos concluir.

Answer 2

No he podido encontrar el Marco de la respuesta que me parecía recordar, así que voy a volver a hacer la prueba.

Por Euler pentagonal número teorema tenemos $$\prod_{k=1}^{+\infty}(1-x^k) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty}(-1)^m x^{\frac{3m^2-m}{2}} \tag{1}$$ por lo tanto, por termwise de integración de la integral inicial es igual a $$\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\frac{2(-1)^m}{3m^2-m+2} \tag{2}$$ y el último de la serie puede ser calculada mediante la siguiente identidad, que viene de la derivada logarítmica de la Weierstrass producto de la $\cosh$ función de:

$$\tanh(x) = \sum_{n\geq 0}\frac{8x}{4x^2+(2n+1)^2\pi^2} \tag{3}$$ o a través de $$\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n+a)(n+b)}=\frac{\psi(a)-\psi(b)}{a-b} \tag{4}$$ y el dilogarithm la reflexión y la duplicación de las fórmulas. Poniendo todo junto, $$\boxed{\int_{0}^{1}\prod_{k\geq 1}(1-x^k)\,dx = \color{red}{\frac{4\pi\sqrt{3}\sinh{\frac{\pi\sqrt{23}}{3}}}{{\sqrt{23}\cosh{\frac{\pi\sqrt{23}}{2}}}} }}$$ de la siguiente manera.