Cómo encontrar la integral de cierre de $\mathbb{Z}_{(3)}$ en el campo de $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$?

Question

Deje $v$ ser el 3-ádico de valoración en $\mathbb{Q}$ y considerar la sub-anillo $\mathbb{Z}_{(3)}$ $\mathbb{Q}$ definido por $$ \mathbb{Z}_{(3)} = \{ x \in \mathbb{Q} : v(x) \geq 0 \}. $$ Es decir, $\mathbb{Z}_{(3)}$ es el anillo de los números racionales que son integrales con respecto a $v$. $\mathbb{Z}_{(3)}$ es también la localización de $\mathbb{Z}$ en el primer ideal $(3)$. Sé $\mathbb{Z}_{(3)}$ es integralmente cerrado en $\mathbb{Q}$.

Quiero encontrar la integral de cierre de $\mathfrak{O}$ en el campo de $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$: $$ \overline{\mathbb{Z}_{(3)}} = \{x \in \mathbb{Q}(\sqrt{-5}) : x \text{ es una raíz de un monic irreductible polinomio con coeficientes en } \mathbb{Z}_{(3)} \} $$

¿Cómo puedo hacer esto? ¿Qué debería estar pensando?

Answer 1

La integral de cierre de $\Bbb Z$ $K={\Bbb Q}\sqrt{-5}$ es el anillo de enteros ${\cal O}_K={\Bbb Z}\sqrt{-5}$, la última igualdad debido a que $-5\equiv 3\bmod 4$.

Como se observa, ${\Bbb Z}_{(3)}$ es la localización de $\Bbb Z$ en el ideal de $(3)$. A continuación, se sigue de las propiedades generales (ver Atiyah-Macdonald, 5 Cad) que la integral de cierre de $A$ ${\Bbb Z}_{(3)}$ $K$ es la localización ideal $(3)$${\cal O}_K$.

Desde $3$ se divide en $K$, $A$ tiene dos máximos ideales, es decir,${\frak m}_{\pm}=(1\pm\sqrt{-5})A$.

Answer 2

Aquí es diferente y (tal vez) un poco más elementales enfoque de Andrea.

Deje $R$ ser la integral de cierre de $\mathbb{Z}_{(3)}$$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$. Claramente $R$ es un sub-anillo de $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$, y por lo tanto estamos buscando una condición necesaria y suficiente en $a,b \in \mathbb{Q}$ tal que $a+b\sqrt{-5} \in R$.

Deje $P(a,b)$ ser el polinomio mínimo de a$a+b\sqrt{-5}$$\mathbb{Q}$, es decir, el único monic polinomio con $\mathbb{Q}$-coeficientes de menos grado satisfecho por $a+b\sqrt{-5}$. Ciertamente, si $P(a,b)$ ha coeficientes acostado en $\mathbb{Z}_{(3)}$ $a+b\sqrt{-5}$ se encuentra en $R$. De hecho, lo contrario es cierto debido a que el anillo de $\mathbb{Z}_{(3)}$ es integralmente cerrado (por ejemplo, es un PID y PID $\implies$ UFD $\implies$ integralmente cerrado). Para una prueba de este hecho, véase, por ejemplo, la sección sobre Integralmente Cerrado Dominios en estas notas. (Actualmente este es el Teorema de $260$$\S 14.5$, pero que más precisa información está sujeta a cambios.)

Probar este tipo de cálculos por usted mismo: usted debe conseguir que el $a+b\sqrt{-5} \in R \iff a,b \in \mathbb{Z}_{(3)}$.

Ahora en mis notas también he de demostrar la compatibilidad de la integral de cierre con la localización que utiliza Andrea en su respuesta: en realidad se trata de cinco páginas anteriores que el hecho sobre un mínimo de polinomios se mencionó anteriormente. Así que sin duda es discutible que de estos hechos es "más básicos". Mi motivo para elegir este último es porque creo que es un poco más concretos y susceptibles de cálculo: de hecho, si usted no conoce este hecho acerca de un mínimo de polinomios, me parece que vas a tener un tiempo difícil calcular cualquier trivial ejemplos de integral cierres de ningún tipo.