Es $\left(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{x_k}{j+k}\right)_{j\geq 1}\in\ell_2$ true si $(x_k)_{k\geq 1}\in\ell_2$

Question

Deje $(x_k)_{k\geq 1}\in\ell_2$. Considere la posibilidad de $\left(\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{x_k}{j+k}\right)_{j\geq 1}$.

Ahora mi pregunta es que si $\left(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{x_k}{j+k}\right)_{j\geq 1}$ pertenece a $\ell_2$ o no.

La siguiente es una idea, pero no estoy seguro de si es correcto.

Deje $\varphi(t)=i(\pi-t)$ $2\pi$- periodo de la función. Entonces es fácil ver que $\widehat\varphi(n)=\frac{1}{n}$ por cada valor distinto de cero $n\in\mathbb Z$$\widehat \varphi(0)=0$. A continuación, obtenemos $$\sum\limits_{1\leq j,k\leq N}\frac{a_jb_k}{j+k}=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\left(\sum\limits_{j=1}^N a_j e^{-ijt}\right)\left(\sum\limits_{k=1}^Nb_ke^{-ikt}\right)\varphi(t)dt$$ donde $(a_1,\cdots,a_N),(b_1,\cdots,b_N)\in\mathbb C^N$.Entonces por Cauchy-Schwarz desigualdad, tenemos

$$\left|\sum\limits_{1\leq j,k\leq N}\frac{a_jb_k}{j+k}\right|\leq\|\varphi\|_{\infty}\left|\left(\sum\limits_{j=1}^N|a_j|^2\right)^{1/2}\left(\sum\limits_{k=1}^N|b_k|^2\right)^{1/2}\right|.$$ Ahora para cualquier $x,y\in \ell_2$, $$\left|\langle u(x),y\rangle\right|\leq \|\varphi\|_{\infty}\|x\|_2\|y\|_2$$ donde $u(x)=(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{x_k}{j+k})_{j\geq 1}$. Tenga en cuenta que $\langle u(x),y\rangle$ existe, ya que las $\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{1\leq j,k\leq N}\frac{|x_j||y_j|}{j+k}$ existe. A continuación, $\langle u(x),\cdot\rangle$ es un funcional lineal en $\ell_2$ fijos $x\in\ell_2$. Por la representación de Riesz teorema, existe $z\in \ell_2$ tal que $\langle u(x),y\rangle=\langle z,y\rangle$ todos los $y\in\ell_2$. Por lo tanto $z=u(x)$, es decir,$u(x)=z\in\ell_2$.

Tal vez he cometido algunos errores en la prueba. Y alguien sabe de algunas otras pruebas?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Referencia: La desigualdad $$\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty {a_m b_n\sobre m+n}\leq C \left(\sum_{m=1}^\infty a_m^2\right)^{1/2} \left(\sum_{n=1}^\infty b_n^2\right)^{1/2} $$ se llama de Hilbert, la desigualdad y es (10.1) en la página 155 de La de Cauchy-Schwarz Master Class por J. Michael Steele. También muestra que el constante $C$ puede ser llevado a ser $\pi$, $C=\pi$ es óptimo.

Answer 2

Hay un par de enfoques similares a su problema.

1) La primera se encuentra en El Cauchy-Schwarz Master Class en la página 155. Esta es una prueba directa, el uso de las ideas básicas del cálculo. Ya se menciona en Byron Schmuland la respuesta.

2) El segundo método es un poco más avanzado. Esto es exactamente lo que usted ha hecho en su respuesta. Este método se llama método de Toeplitz, y se puede encontrar en el mismo libro en la página 165.

3) El tercer enfoque se utiliza Schur de la prueba. Se puede encontrar en Halmos del problema del libro en espacios de Hilbert. Ver los problemas 45 y 46.

4) por supuesto, el problema se puede expresar como la cuestión de acotamiento de algún operador en particular en $\ell^2$, que es unitarily equivalente a un infinito dimensional análogo de la matriz de Hilbert. Usted puede encontrar varias soluciones mediante el uso de este operador enfoque, y mucho más, en este artículo. Ver los problemas V, VII y X.