Sea $f\in S_k(\Gamma_1(N),\chi)$ sea una eigenforma de Hecke de peso $k\geq 2$ , $p$ un primo impar que no divide $N$ y $K_f$ el campo numérico generado por los valores propios de Hecke de $f$ . Fijar un primo $\lambda$ de $K_f$ en $p$ se tiene el irreducible continuo $p$ -representación radical $\rho:G_\mathbf{Q}\rightarrow\mathrm{GL}_2(K_{f,\lambda})$ unramified outside $Np$ . Si $k$ es el campo de residuos de $K_{f,\lambda}$ reduciendo un enrejado y tomando la semisimplificación, obtenemos la representación residual $\bar{\rho}:G_\mathbf{Q}\rightarrow\mathrm{GL}_2(k)$ . Me interesa la restricción de $\bar{\rho}$ a un grupo de descomposición $D_p$ en $p$ . Concretamente, mi pregunta es: ¿existen condiciones generales sobre $f$ que garanticen que la restricción de $\bar{\rho}$ a $D_p$ ¿es plana?
Definición: Un finito $G_{\mathbf{Q}_p}$ -módulo $M$ de $p$ -se dice que es plana si es la representación de fibra genérica de un esquema de grupo plano finito sobre $\mathbf{Z}_p$ .
El único ejemplo que conozco es el siguiente cuando $k=2$ y $f$ corresponde a una curva elíptica $E/\mathbf{Q}$ con buena reducción en $p$ . En este caso, la representación residual sólo procede de $E[p]$ que es plana en $p$ (es decir, como $G_{\mathbf{Q}_p}$ -) porque es la representación genérica de la fibra del $p$ -torsión del modelo Neron de $E$ en $\mathbf{Z}_p$ y una buena reducción significa que el modelo Neron es un esquema abeliano, por lo que su $p$ -torsión es plana finita.
Sé que la noción de representaciones planas se utiliza en la demostración de Wiles de la modularidad de curvas elípticas semiestables sobre $\mathbf{Q}$ pero no sé si alguna de las representaciones planas que se utilizan proceden realmente de las representaciones residuales adjuntas a las formas modulares.
