Cómo evaluar este terribles integral?

Question

Cómo probar esto?

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac {2(x-x^2)e^{-(x^2+y^2+z^2)}}{((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2)^{3/2}}dxdydz=\frac {-4\pi e^{-3}}{3}$$

He tratado de convertir a coordenadas polares, pero todavía no podía evaluar.

Answer 1

Deje $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$r_1 = \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2 + (z-1)^2}$.

Para cualquier $R, \epsilon > 0$, vamos

• $B_0(R) = \{ (x,y,z) : r < R \}$ ser la bola de radio $R$ con centro en el origen.
• $B_1(\epsilon) = \{ (x,y,z) : r_1 < \epsilon \}$ ser la bola de radio $\epsilon$ centrada en $(1,1,1)$.

Aviso el integrando los golpes como $\frac{1}{r_1^2}$ $(x,y,z)$ enfoques $(1,1,1)$ que conseguir suprimida por un factor de $r_1^2$ desde el elemento de volumen. La triple integral debe ser interpretado como un límite de la forma siguiente:

$$\iiint ( \cdots ) = \lim_{R\to\infty}\lim_{\epsilon\to 0}\int_{B_0(R)\setminus B_1(\epsilon)} (\cdots ) $$

Por simetría, la integral se puede escribir como

$$\begin{align} & -\frac23\iiint \frac{x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)}{r_1^3} e^{-r^2} dV\\ = & -\frac23 \iiint \left(\vec{x}\cdot\frac{\vec{\nabla}r_1}{r_1^2}\right) e^{-r^2} dV\\ = & -\frac13 \iiint \vec{\nabla}\left(\frac{1}{r_1}\right)\cdot\vec{\nabla}e^{-r^2} dV\\ = & -\frac13 \iiint \left[ \vec{\nabla}\cdot\left(e^{-r^2}\vec{\nabla}\left(\frac{1}{r_1}\right)\right) - e^{-r^2}\nabla^2\left(\frac{1}{r_1}\right) \right] dV\\ \end{align} $$ Aviso de $\nabla^2\left(\frac{1}{r_1}\right) = 0$ fuera de $B_1(\epsilon)$, podemos utilizar el teorema de la divergencia para reescribir la integral como

$$-\frac13\lim_{R \to \infty}\lim_{\epsilon \to 0} \int_{\partial (B_0(R)\setminus B_1(\epsilon))} e^{-r^2}\vec{\nabla}\left(\frac{1}{r_1}\right)\cdot d\vec{S} = -\frac13\left[ \lim_{R \to \infty} \int_{\partial B_0(R)} - \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\partial B_1(\epsilon)} \right] \left( e^{-r^2}\vec{\nabla}\left(\frac{1}{r_1}\right)\cdot d\vec{S} \right) $$ Debido a de la $e^{-r^2}$ factor, la integral sobre la $\partial B_0(R)$ desvanece como $R \to \infty$.

Para el resto de la integral, ya que $e^{-r^2}$ es continua cerca de $(1,1,1)$, se puede tirar de él fuera el signo integral. Como resultado, la integral nosotros buscamos es igual a

$$\frac13 \left(\lim_{(x,y,z)\a (1,1,1)} e^{-r^2}\right) \left(\lim_{\epsilon \to 0}\int_{\partial B_1(\epsilon)}\vec{\nabla}\left(\frac{1}{r_1}\right)\cdot d\vec{S}\right) = \frac13 e^{-3} (-4\pi) = -\frac{4\pi}{3e^3} $$

Answer 2

Otra respuesta:

Me di cuenta también de la siguiente manera a partir de esta identidad vea identidad

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac {\partial f(x',y',z')}{\partial x}\frac {x'-x}{4\pi r^3}dx dy'dz'+\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac {\partial f(x',y',z')}{\partial y'}\frac {y'-y}{4\pi r^3}dx dy'dz'+ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac {\partial f(x',y',z')}{\partial z}\frac {z'-z}{4\pi r^3}dx dy'dz'=-f(x,y,z)$$

con $$f(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2+z^2)}$$

se ve fácilmente cuando $x=y=z=1$ $\quad$ $f(1,1,1)=e^{-3}$

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac {\partial f(x',y',z')}{\partial x'}\frac {x'-1}{4\pi r'^3}dx'dy'dz'=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\frac {2(x'-x'^2)e^{-(x'^2+y'^2+z'^2)}}{4\pi((x'-1)^2+(y'-1)^2+(z'-1)^2)^{3/2}}dx'dy'dz'=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\frac {2(y'-y'^2)e^{-(x'^2+y'^2+z'^2)}}{4\pi((x'-1)^2+(y'-1)^2+(z'-1)^2)^{3/2}}dx'dy'dz'=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\frac {2(z'-z'^2)e^{-(x'^2+y'^2+z'^2)}}{4\pi((x'-1)^2+(y'-1)^2+(z'-1)^2)^{3/2}}dx'dy'dz'$$

Por lo tanto: $$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\frac {2(x'-x'^2)e^{-(x'^2+y'^2+z'^2)}}{4\pi((x'-1)^2+(y'-1)^2+(z'-1)^2)^{3/2}}dx'dy'dz'=\frac {-f(1,1,1)}{3}$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\frac {2(x'-x'^2)e^{-(x'^2+y'^2+z'^2)}}{((x'-1)^2+(y'-1)^2+(z'-1)^2)^{3/2}}dx'dy'dz'=\frac {-4\pi e^{-3}}{3}$$