Cierre algebraico de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})(T)$

Question

¿Existe una descripción concreta del cierre algebraico de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})(T)$ ?

Answer 1

En primer lugar, observe que el cierre algebraico requerido debe contener un cierre algebraico $\overline { \mathbb F_p}$ de $\mathbb F_p$ por lo que debemos encontrar un cierre algebraico de $\overline { \mathbb F_p}(t)$ .

Para un campo algebraicamente cerrado $k$ de característica cero (como $\mathbb C$ ) un cierre algebraico de $k(T)$ es el cierre algebraico de $k(T)$ en el campo algebraicamente cerrado de la serie de Puiseux $$k((T^{\frac{1}{\infty}}))=\bigcup_{n\geq 1} k((T^{\frac{1} {n}}))$$

Esto ya no es cierto si $char. k\gt 0$ como demostró Chevalley exhibiendo como contraejemplo el polinomio $Y^p-Y-T^{-1}\in k(T)[Y]$ que no tiene raíz en $k((T^{\frac{1}{\infty}}))$ .

Afortunadamente, una modificación de la noción de serie de Puiseux da un análogo en la característica $p$ del resultado de la cerrazón algebraica anterior y eso debería, en principio, resolver tu problema.
Puede consultar El documento de Kedlaya para más detalles.